Question

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，设点C的坐标为（0，m）且m＜6，△ABC的面积为S，试问：
（1）写出S与m的函数关系式及自变量的取值范围（写出必要的过程）；
（2）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）过A作AE⊥x轴，垂足为E，交BC于点D，如图所示，设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入表示出直线BC解析式，根据A与D横坐标相同，将x=1代入直线BC解析式求出D纵坐标，即为DE的长，由AE-DE求出AD的长，三角形ABC面积=三角形ACD面积+三角形ABD面积，表示出S与m关系式即可；
（2）做出A关于y轴对称点为A′，连接A′B，交y轴于点C，设直线A′B解析式为y=ax+b，将A′与B坐标代入求出a与b的值，确定出解析式，即可确定出此时C的坐标．

解答：解：（1）过A作AE⊥x轴，垂足为E，交BC于点D，如图所示，

设直线BC解析式为y=kx+b，
将C（0，m），B（3，0）代入得：

b=m 3k+b=0

，
解得：

k=- 1 3 m b=m

，
∴直线BC解析式为y=-

1

3

mx+m，
∵A（1，4），
∴D横坐标为1，
将x=1代入直线BC解析式得：y=

2

3

m，即DE=

2

3

m，
∴AD=AE-DE=4-

2

3

m，
则S=S_△ACD+S_△ABD=

1

2

×1×（4-

2

3

m）+

1

2

×（3-1）×（4-

2

3

m）=6-m（m＜6）；
（2）如图所示，做出A关于y轴的对称点A′，连接A′B，与y轴交于点C，此时△ABC周长最小，

∵A（1，4），
∴A′（-1，4），
设直线A′B解析式为y=ax+b，
将A′（-1，4），B（3，0）代入得

-a+b=4 3a+b=0

，
解得：a=-1，b=3，
∴直线A′B解析式为y=-x+3，
令x=0，得到y=3，
则此时C坐标为（0，3）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，对称的性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．