Question

已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB=

1

3

，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；
（3）结论CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=

1

3

，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=

1

3

，可求AE，利用勾股定理求DE．

解答：（1）证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，即点D是AB的中点．

（2）解：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，
∴cosB=cosA=

1

3

，
∵cosB=

BD

BC

=

1

3

，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cosA=

AE

AD

=

1

3

，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=

AD2-AE2

=4

2

．

点评：本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的运用，关键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题．