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以a,b,c为三边的直角三角形的周长的数值与面积的数值相等,且a,b,c为自然数,求证:关于x的方程x2-(a+b+c)x+abc=0无实数根.
考点:根的判别式,勾股定理
专题:证明题
分析:要证明关于x的方程x2-(a+b+c)x+abc=0无实数根,只有证明△<0即可.而△=(a+b+c)2-4abc,根据a,b,c为三边的直角三角形的周长的数值与面积的数值相等(不妨设a,b为直角边,c为斜边),可以通过代数式变形得到abc=
1
4
a2b2-2ab,把△变为(a+b+c)2-4abc=
1
4
a2b2-4(
1
4
a2b2-2ab)=
1
4
ab(32-3ab),最后根据a,b,c为自然数,找到最小的直角边即可证明△<0.
解答:证明:∵x2-(a+b+c)x+abc是关于a,b,c的轮换对称式,
∴不妨设a,b为直角边,c为斜边,
则根据题意有:a2+b2=c2,a+b+c=
1
2
ab,
∴a+b=
1
2
ab-c,两边平方得:a2+2ab+b2=
1
4
a2b2-abc+c2
∴abc=
1
4
a2b2-2ab,
又∵△=(a+b+c)2-4abc=
1
4
a2b2-4(
1
4
a2b2-2ab)=
1
4
ab(32-3ab),
而a,b,c为自然数,
则a,b的最小值为3,4,即ab≥12,
∴32-3ab<0,
即△<0,
所以关于x的方程x2-(a+b+c)x+abc=0无实数根.
点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了代数式的变形能力、勾股定理以及三角形的面积公式.
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已知
x
3
=y=
z
2
≠0
,那么
xy+yz+zx
x2-3y2+4z2
=
 

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若n满足(n-2004)2+(2005-n)2=1,则(2005-n)(n-2004)等于(  )
A、-1
B、0
C、
1
2
D、1

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x
2
1
+
x
2
2
x1x2
=
 

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5
-1
2
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A、5xB、5x-1
C、4xD、4x-1

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1
a
+
1
b
的值.

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为了解省级湿地和鸟类自然保护区---白洋淀的生态现状,某电视台《绿色家园》栏目摄制组赴白洋淀进行实地采访.摄制组从A地到白洋淀有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到B地吃午饭.由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的
1
3
,过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息.司机说,再走从B地到这里路程的
1
2
就到达白洋淀了,则A地与白洋淀相距(  )
A、500千米
B、600千米
C、700千米
D、800千米

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BD、CE是△ABC的中线,G、H分别是BE、CD的中点,BC=8,则GH=
 

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计算:325×(-125)×(-11)×8×
1
25
×(-
5
11
)

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