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王叔叔每天早晨都要进行长跑锻炼身体,某天他跑步的速度v(米/分)与时间(分)的函数图象如图所示.过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔所跑过的路程s(米).精英家教网
(1)当t=5时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)王叔叔这天锻炼跑过的路程有没有超过5750米?如果没有超过,请说明理由;如果超过了5750米,那他跑到多少分钟的时候路程正好5750米?
分析:(1)设直线l交v与t的函数图象于D点.由图象知,点A的坐标为(10,200),故直线OA的解析式为v=20t,然后将t的值代入求解即可.
(2)分类讨论:当0≤t≤10时;当10<t≤30时;当30<t≤40时;
(3)根据t的值对应求S,然后解答.
解答:解:设直线l交v与t的函数图象于D点.
(1)由图象知,点A的坐标为(10,200),故直线OA的解析式为v=20t.
当t=5时,D点坐标为(5,100),
∴OT=5,TD=100,
∴S=
1
2
×5×100=250(m).
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(2)当0≤t≤10时,此时OT=t,TD=20t,
∴S=
1
2
•t•20t=10t2
当10<t≤30时,此时OT=t,AD=ET=t-10,TD=200,
∴S=S△AOE+S矩形ADTE=
1
2
×10×200+200(t-10)=200t-1000;
当30<t≤40时,
∵B,C的坐标分别为(30,200),(40,0),
∴直线BC的解析式为v=-20t+800,
∴D点坐标为(t,-20t+800),
∴TC=40-t,TD=-20t+800,
∴S=S梯形OABC-S△DCT=
1
2
(20+40)×200-
1
2
(40-t)(-20t+800)=-10(40-t)2+6000;

(3)∵当t=30时,S=30×200-1000=5000(m);
当t=40时,S=-10(40-40)2+6000=6000(m),而5000<5750<6000,
所以王叔叔跑过了5750m.
由-10(40-t)2+6000=5750,解得t=35或t=45(不合题意,舍去).
所以王叔叔出发35分后跑了5750米.
点评:本题考查的是一次函数在实际生活中的运用,比较复杂,解答此题的关键是根据图形反映的数据进行分段计算,难度适中.
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(参考数据:
2
≈1.414,
3
≈1.732)

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