Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，将三角板的直角顶点放在P（5，5）处，两条直角边与坐标轴分别交于点A和点B．

（1）如图（1），点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究OA+OB是否为一定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

（2）如图（2），点在x轴正半轴上运动，点在y轴的负半轴上运动时，求的值．

Answer 1

【答案】(1) OA+OB的值是定值为10，理由见解析；(2)10

【解析】

(1)过P点作PE⊥y轴于点E，作PF⊥x轴于点F ，利用同角的余角相等可得出∠EPB=∠FPA，从而得出△EPB≌△FPA，由全等知EB=AF，即可得出答案；

(2) 过P点分别作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，利用题目已知条件可证得△PNA≌△PMB，利用全等的性质可知道MB=NA，代入数据即可求解．

解：(1) OA+OB是一定值

如图所示，过P点作PE⊥y轴于点E，作PF⊥x轴于点F

∵P（5，5）

∴PE=PF

∵∠BPF+∠FPA=90°，∠EPB+∠BPF=90°

∴∠EPB=∠FPA

在△EPB和△FPA中

∴△EPB≌△FPA

∴EB=AF

∵OB+OA=OB+OF+FA

∴OB+OA=OB+OF+EB=OF+OE=5+5=10

(2)如图所示，过P点分别作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M

∵∠NPA+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPB=90°

∴∠NPA=∠MPB

∵P（5，5）

∴PN=PM

在△PNA和△PMB中

∴△PNA≌△PMB

∴MB=NA

∵MO=NO=5，OB=-b，AO=a

∴5+(-b)=a-5

∴a+b=10