已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+4x+5过点A（-1，0），对称轴与x轴交于点C，顶点为B．
（1）求a的值及对称轴方程；
（2）设点P为射线BC上任意一点（B、C两点除外），过P作BC的垂线交直线AB于点D，连接PA．设△APD的面积为S，点P的纵坐标为m，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）设直线AB与y轴的交点为E，如果某一动点Q从E点出发，到抛物线对称轴上某点F，再到x轴上某点M，从M再回到点E．如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M的坐标和运动的最短距离．

解：（1）∵抛物线y=ax²+4x+5过点A（-1，0），
∴a=-1．
∴对称轴方程为 $\text{[math]}$ ，

（2）∵点A为（-1，0），点B为（2，9），
∴直线AB的解析式为y=3x+3．
依题意知点P的坐标为（2，m）．
∴点D的坐标为（ $\text{[math]}$ ，m）．
∴S= $\text{[math]}$ PD•|m|= $\text{[math]}$ （2- $\text{[math]}$ +1）•|m|=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）•|m|
故S与m的函数关系式为 $\text{[math]}$ ，

（3）如图：作点E关于x=2的对称点E′，再作点E关于x轴对称的点E''，
连接E′E''交x轴于点M，连接EM（F与M重合）．
则点Q运动的最短路径为：E→F（M）→E．其中，点M的坐标为（2，0）；
最短距离为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据抛物线y=ax²+4x+5过点A（-1，0），把A（-1，0）代入求出a的值，进而求出抛物线的对称轴方程；
（2）首先求出直线AB的解析式，求出点P的坐标为（2，m），点D的坐标为（ $\text{[math]}$ ，m），然后结合三角形的面积公式求出S与m的函数关系式；
（3）作点E关于x=2的对称点E′，再作点E关于x轴对称的点E''，连接E′E''交x轴于点M，连接EM（F与M重合）．则点Q运动的最短路径为：E→F（M）→E．其中，点M的坐标为（2，0），最短距离即可求出．
点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键是理解题意和正确的作出图形，此题难度较大，特别是第三问求出M的坐标很关键．

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在平面直角坐标xOy中，反比例函数y=

的图象与y=

的图象关于x轴对称，又与直线y=ax+2交于点A（m，3）．已知点M（-3，y₁）、N（l，y₂）和Q（3，y₃）三点都在反比例函数y=

的图象上．
（l）比较y₁、y₂、y₃的大小；
（2）试确定a的值．

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在平面直角坐标系里，如图，已知直线：y=-x+3

交y轴于点A，交x轴于点B，三角板OCD如图1置，其中∠D=30°，∠OCD=90°，OD=7，把三角板OCD绕点．顺时针旋转15°，得到△OC₁D₁（如图2），这时OC₁交AB于点E，C₁D₁交AB于点F．
（1）求∠EFC₁的度数；
（2）求线段AD₁的长；
（3）若把△OC₁D₁，绕点0顺时针再旋转30．得到△OC₂D₂，这时点B在△OC₂D₂的内部、外部、还是边上？证明你的判断．