Question

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，BE=CE=AD．
（1）求证：四边形ECDA是矩形；
（2）当△ABC是什么类型的三角形时，四边形ECDA是正方形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先得出四边形AECD是平行四边形，进而得出∠AEC=90°，则四边形AECD是矩形；
（2）利用等腰直角三角形的性质，结合正方形的判定方法得出即可．

解答 （1）证明：∵在四边形AECD中，
AD∥EC且AD=EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB=AC，BE=CE，
∴AE⊥BC，∠AEC=90°，
∴四边形AECD是矩形；

（2）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ECDA是正方形．
∵△ABC等腰直角三角形时，∠AEC=90°，
又∵BE=CE
∴AE=$\frac{BC}{2}$=CE，
又∵四边形AECD是矩形，
∴四边形ECDA是正方形．

点评 此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定，正确掌握相关判定定理是解题关键．