Question

己知：抛物线y=x²-（k+1）x+k
（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；
（2）如图，若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线与x轴只有一个交点，也就是说当y=0时，得出的关于x的二元一次方程只有一个解，即△=0，可据此求出k的值．
（2）要分两种情况进行讨论：
①当∠CAO=∠BCO时，那么∠ACB=90°，根据射影定理可得出OC²=OA•OB、OC是C的纵坐标的绝对值，而OA、OB分别是（1）中方程的两个根的绝对值，那么可据此求出k的取值．
②当∠ACO=∠BCO时，此时三角形AOC与BOC全等，那么对称轴就是x=0，据此可求出k的值．

解答：解：（1）由题意可知；当y=0时，方程x²-（k+1）x+k=0，只有一个解，
即：△=（k+1）²-4k=（k-1）²=0，
∴k=1，
即：当k=1时，抛物线与x轴只有一个公共点．

（2）分两种情况进行讨论：
①当∠CAO=∠BCO时．

CO

AO

=

BO

CO

，
即CO²=AO•BO，
由于CO=k，AO•BO=-k，
k²=-k，k（k+1）=0，
∴k=0，k=-1．
当k=0时，C点与B点或A点重合，
因此不合题意舍去．
②当∠ACO=∠BCO时，
∵∠AOC=∠BOC=90°，OC=OC，
因此△AOC≌△BOC，那么y轴就是抛物线的对称轴，
即

k+1

2

=0，k=-1．
综上所述，当k=-1时，△AOC与△COB相似．

点评：本题主要考查了二次函数与二元一次方程的关系，根据根与系数的关系来求解是本题的基本思路．注意（2）中要分类进行讨论．