Question

25、如图所示，一个正方形池塘边长12m，在池塘边AB上的点E处有一颗果树，池塘边BC上的点F处也有一颗果树，两颗果树的距离EF=AE+FC．
①你能知道这两颗果树之间的距离吗？算算看！
②试着求出∠EDF的度数．

Answer 1

分析：（1）两颗果树之间的距离不是固定值（只要∠EDF的度数是45°，两颗果树的距离都是EF=AE+FC）
（2）延长FC到G，使得CG=AE，连接DG．证明△DCG≌△DAE．从而△DEF≌△DGF，∠EDG=90°，于是∠EDF=45°

解答：解：如图；
将△ADE逆时针旋转90°，使得AD、DC重合，得△DCG；
则CG=AE，EF=FG=AE+CF；
又∵DE=DG，DF=DF，
∴△DEF≌△DGF（SSS）；
（1）设AE=x，CF=y；
则BE=12-x，BF=12-y，EF=x+y；
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
（12-x）²+（12-y）²=（x+y）²，
解得：xy+12（x+y）=144，两个未知数一个方程，不能确定x+y的取值，故EF非定值．
（2）由△DEF≌△DGF，得：∠EDF=∠FDG；
而∠EDG=∠EDC+∠CDG=∠EDC+ADE=90°，则∠EDF=45°．

点评：本题考查的知识点：三角形的全等，勾股定理及方程思想的应用．