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(2012•通辽)如图,在平面直角坐标系中,将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2)、点B(1,0),抛物线y=ax2-ax-2经过点C.
(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否存在点P与点Q(点C、D除外)使四边形ABPQ为正方形?若存在求出点P、Q两点坐标,若不存在说明理由.
分析:(1)作CE⊥x轴于点E,根据四边形ABCD为正方形,得到Rt△AOB≌Rt△CEA,因此OA=BE=2,OB=CE=1,据此可求出C点坐标;
(2)然后将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.
(3)可以AB为边在抛物线的左侧作正方形AQPB,过P作PE⊥y轴,过Q作QG垂直x轴于G,不难得出△PEA≌△BQG≌△BAO,据此可求出P,Q的坐标,然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出P、Q是否在抛物线上.
解答:解:(1)作CE⊥x轴于点E,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABO+∠CBE=90°,
∵∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠OAB=∠EBC
∴Rt△AOB≌Rt△CEB,
∵A(0,2)、点B(1,0),
∴AO=2,BO=1
得OE=2+1=3,CE=1
∴C点坐标为(3,1);

(2)∵抛物线经过点C,
∴1=a×32-a×3-2,
∴a=
1
2

∴抛物线的解析式为y=
1
2
x2-
1
2
x-2;

(3)在抛物线上存在点P、Q,使四边形ABQP是正方形.
以AB为边在AB的左侧作正方形ABPQ,过P作PE⊥OA于E,QG⊥x轴于G,可证△PEA≌△BQG≌△BAO,

∴PE=BG=AO=2,AE=QG=BO=1,
∴P点坐标为(-2,1),Q点坐标为(-1,-1).
由(1)抛物线y=
1
2
x2-
1
2
x-2,
当x=-2时,y=1;当x=-1时,y=-1.
∴P、Q在抛物线上.
故在抛物线上存在点P(-2,1)、Q(-1,-1),使四边形ABQP是正方形.
点评:本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点.综合性强,涉及的知识点多,难度较大.
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