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9.将正方形ABCD放置在如图所示的直角坐标系中,点B的坐标为(8,0),点P在边AB的中点.连结CP,将△BCP沿PC折叠,使点B落在y轴的M点处,且点M的纵坐标为4.若点Q是x轴正半轴上一个运动的点,连结MQ、CQ,则△CMQ周长的最小值为10+2$\sqrt{65}$.

分析 作点M关于x轴的对称点M′,连接CM′与x轴的交点即为点Q,此时△CMQ周长最小,先在RT△OMP中利用勾股定理求出OP,正方形边长,然后在RT△CNM′利用勾股定理求出CM′即可解决问题.

解答 解:作点M关于x轴的对称点M′,连接CM′与x轴的交点即为点Q,此时△CMQ周长最小,
设OP=x,则PB=PM=8-x,
在RT△OPM中,PM2=OM2+OP2
∴(8-x)2=42+x2
∴x=3,
∴PM=PB=5,AB=2PB=BC=10,
设CD与y轴交于点N,
在RT△CNM′中,∠CNM′=90°,CN=8,NM′=14,
∴CM′=$\sqrt{C{N}^{2}+NM{′}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{4}^{2}}$=2$\sqrt{65}$,
∴△CMQ的周长=CM+CQ+MQ=CM+CQ+QM′=CM+CM′=10+2$\sqrt{65}$.

点评 本题考查正方形的性质、轴对称-最短问题、勾股定理等知识,解题的关键是利用勾股定理求出正方形的边长,学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.

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