Question

2．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）连接CD，CB．若AD=CD=a，写出求四边形ABCD面积的思路．

Answer 1

分析 （1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB=90°，可证得结论；
（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．

解答 （1）证明：连接OC，AC．
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF．
∴∠CAE=∠CAB．
∵OC=OA，
∴∠CAB=∠OCA．
∴∠CAE=∠OCA．
∴OC∥AE．
∴∠OCE+∠AEC=180°，
∵∠AEC=90°，
∴∠OCE=90°即OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，
∴CE是⊙O的切线．

（2）求解思路如下：
①由AD=CD=a，得到∠DAC=∠DCA，于是∠DCA=∠CAB，可知DC∥AB；
$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，
②由OC∥AE，OC=OA，可知四边形AOCD是菱形；
③由∠CAE=∠CAB，得到CD=CB，DC=BC=a，可知△OBC为等边三角形；
④由等边△OBC可求高CF的长，进而可求四边形ABCD面积．
解：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB，
∵∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴OC=AD=a，AB=2a，
∵∠CAE=∠CAB，
∴CD=CB=a，
∴CB=OC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
在Rt△CFB中，CF=$\sqrt{C{B}^{2}-F{B}^{2}}$=$\frac{a}{2}\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$（DC+AB）•CF=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a²．

点评 本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．