Question

1．已知二次函数y=-2x²+8x-4，根据要求完成下列各题：
（1）将函数关系式用配方法化为y=a（x+h）²+k形式，并写出其图象的顶点C坐标、对称轴；
（2）若它的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），求△ABC的面积；
（3）若它的图象与y轴交于D点，点P在其对称轴上，求PB+PD的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用配方法将抛物线的解析式化为y=a（x+h）²+k形式，即可得到顶点C坐标、对称轴；
（2）根据函数解析式求得A、B两点坐标，得出AB的长，最后计算△ABC的面积即可；
（3）根据点A与点B关于直线x=2对称，连接AD交直线x=2于P，则点P即为所求，PB+PD的最小值为AD长，最后根据勾股定理求得AD长，即可得出PB+PD的最小值．

解答 解：（1）∵y=-2x²+8x-4
=-2（x²-4x）-4
=-2（x²-4x+4-4）-4
=-2（x-2）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），对称轴为直线x=2；

（2）令y=0，则-2（x-2）²+4=0，
∴（x-2）²=2，
∴x-2=±$\sqrt{2}$，
∴x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$，
∴抛物线与x轴的交点坐标为A（2+$\sqrt{2}$，0），B（2-$\sqrt{2}$，0），
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×[（2+$\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{2}$）]=4$\sqrt{2}$；

（3）如图，二次函数的图象与y轴交于D点（0，-4），
点A与点B关于直线x=2对称，
连接AD交直线x=2于P，则点P即为所求，
此时，PB+PD的最小值为AD长，
∵Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2+\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{22+4\sqrt{2}}$，
∴PB+PD的最小值为$\sqrt{22+4\sqrt{2}}$．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、最短路线问题，掌握二次函数的性质和图象是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要涉及点关于某直线的对称点．