Question

（2013•海门市一模）已知抛物线y=a（x-1）（x+

2

a

）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，则a的值是

2或

4

3

或

1± 5

2

．

Answer 1

分析：整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①a＞0时，点B在x轴负半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②a＜0时，点B在x轴的正半轴时，点B只能在点A的右边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．

解答：解：y=a（x-1）（x+

2

a

）=（x-1）（ax+2），
所以，抛物线经过点A（1，0），C（0，-2），AC=

OA2+OC2

=

12+22

=

5

，
点B坐标为（-

2

a

，0），
①a＞0时，点B在x负半轴上，
若AC=BC，则

(- 2 a )2+22

=

5

，解得a=2，
若AC=AB，则1+

2

a

=

5

，解得a=

5 +1

2

，
若AB=BC，则1+

2

a

=

(- 2 a )2+22

，解得a=

4

3

；
②a＜0时，点B在x轴的正半轴，点B只能在点A的右侧，
只有AC=AB，则-

2

a

-1=

5

，
解得：a=

1- 5

2

，
综上可得a值为：2或

4

3

或

1± 5

2

．
故答案为：2或

4

3

或

1± 5

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论，难度较大．