Question

如图，抛物线y₁与y₂都与x轴交于点O（0，0）和点A，y₁的顶点是B（2，-1），y₂的顶点是C（2，-3），P是y₁上的一个动点，过P作y轴的平行线交y₂于点Q，分别过P，Q作x轴的平行线，分别交y₁，y₂于点P′，Q′，连接P′Q′．
（1）四边形PP′Q′Q 是

矩

形．
（2）求y₁与y₂关于x的函数关系式．
（3）设P点的横坐标为t（t＞2且t≠4），四边形PP′Q′Q的周长为y，试求y与t的函数关系式．
（4）当四边形PP′Q′Q是正方形，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的对称性解答；
（2）设两函数的顶点式解析式分别为y₁=a₁（x-2）²-1，y₂=a₂（x-2）²-3，然后把原点坐标代入函数解析式求解即可；
（3）根据两函数解析式表示出PQ，根据对称性求出PP′，然后根据矩形的周长公式列式整理即可得解；
（4）根据邻边相等的矩形是正方形列方程求出t的值，再利用抛物线解析式求解即可．

解答：解：（1）∵PP′∥x轴，QQ′∥x轴，
∴四边形PP′Q′Q关于对称轴直线x=2对称，
∵PQ∥y轴，
∴PQ⊥PP′，
∴四边形PP′Q′Q是矩形；

（2）∵y₁的顶点是B（2，-1），y₂的顶点是C（2，-3），
∴设两函数的解析式分别为y₁=a₁（x-2）²-1，y₂=a₂（x-2）²-3，
则a₁（0-2）²-1=0，a₂（0-2）²-3=0，
解得a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，
所以，y₁=

1

4

（x-2）²-1，y₂=

3

4

（x-2）²-3；

（3）∵P点的横坐标为t（t＞2且t≠4），
∴PQ=|

1

4

（t-2）²-1-

3

4

（t-2）²+3|=|2-

1

2

（t-2）²|=|-

1

2

t²+2t|，
由抛物线的对称性，PP′=2（t-2）=2t-4，
∴2＜t＜4时，y=2（2t-4-

1

2

t²+2t）=-t²+8t-8，
t＞4时，y=2（2t-4+

1

2

t²-2t）=t²-8，
综上所述，y与t的函数关系式为y=

-t2+8t-8(2＜t＜4) t2-8(t＞4)

；

（4）当四边形PP′Q′Q是正方形时，PP′=PQ，
∴2t-4=|-

1

2

t²+2t|，
∴①2＜t＜4时，2t-4=-

1

2

t²+2t，
整理得，t²=8，
解得t₁=2

2

，t₂=-2

2

（舍去），
此时，y₁=

1

4

（2

2

-2）²-1=2-2

2

，
∴点P的坐标为（2

2

，2-2

2

）；
②t＞4时，2t-4=-（-

1

2

t²+2t），
整理得，t²-8t+8=0，
解得，t₃=4+2

2

，t₄=4-2

2

（舍去），
此时，y₁=

1

4

（4+2

2

-2）²-1=2+2

2

，
∴点P的坐标为（4+2

2

，2+2

2

），
综上所述，四边形PP′Q′Q是正方形，点P（2

2

，2-2

2

）或（4+2

2

，2+2

2

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称性，矩形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，以及邻边相等的矩形是正方形，（4）根据t的取值范围分情况讨论是解题关键，也是本题容易出错的地方．