Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若BC＝2，∠D＝60°时，求劣弧AC的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

（1）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，则可得AE是⊙O的切线；
（2）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．

解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，

∴∠ABC＝∠D，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∴∠BAC＝30°，

∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，

即BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

（2）如图，连接OC，

∵∠ABC＝∠D＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∴劣弧AC的长为＝．