Question

已知：如图所示，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC。
（1）BC与⊙O是否相切？请说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由。

Answer 1

解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD、BD，
∵DE切⊙O于D，AB为直径，
∴∠EDO=∠ADB=90°，
又DE平分CB，
∴DE=BC=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
又∠ODB=∠OBD，∠ODB+∠EDB=90°，
∴∠OBD+∠DBE=90°，
即∠ABC=90°，
∴BC与⊙O相切；
（2）当△ABC为等腰直角三角形（∠ABC=90°）时，四边形OBED是平行四边形，
∵△ABC是等腰直角三角形（∠ABC=90°），
∴AB=BC，
∵BD⊥AC于D，
∴D为AC中点．
∴OD=BC=BE，OD//BC，
∴四边形OBED是平行四边形。