在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.点B的坐标为(3.0).直线y=kx-3经过B.C两点．(1)求k的值既抛物线的函数表达式,(2)如果P是线段BC上一点.设△ABP.△APC的面积分别为S△ABP.S△APC.且S△ABP:S△APC=2:3.求点P的坐标,(3)设⊙Q的半径为1.圆心Q在抛物线上运动.则在运动过程中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），直线y=kx-3经过B、C两点．
（1）求k的值既抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段BC上一点，设△ABP、△APC的面积分别为S_△ABP、S_△APC，且S_△ABP：S_△APC=2：3，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙O与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由，并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐标轴同时相切？

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据面积的比，可得PB：PC的值，根据相似三角形的判定与性质，可得PD的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据圆与坐标轴相切，可得x或y的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得Q点坐标．

解答解：（1）将B点坐标代入y=kx-3，得
3k-3=0，解得k=1；
直线的解析式为y=x-3，当x=0时，y=-3，即C点坐标为（0，-3），
将B、C点坐标代入抛物线的解析式，解得b=4，c=-3，
抛物线的解析式为y=-x²+4x-3；
（2）作PD⊥AB于D点，如图：

由S_△ABP：S_△APC=2：3，得PB：PC=2：3，PB：BC=2：5．
由△PBD∽△COB，得$\frac{PD}{OC}$=$\frac{PB}{BC}$，解得DP=$\frac{6}{5}$，
解得P点的纵坐标为-$\frac{6}{5}$，
当y=-$\frac{6}{5}$时，x-3=-$\frac{6}{5}$，解得x=$\frac{9}{5}$，
得P点的纵坐标为（$\frac{9}{5}$，-$\frac{6}{5}$）；
（3）设Q（x，y），
①当⊙Q与y轴相切时，有|x|=1，即x=±1．
当x=1时，y=-x²+4x-3=0，即Q点的坐标为（1，0），
当x=-1时，y=-x²+4x-3=-8，得Q点的坐标为（-1，8）；
②当⊙Q与x轴相切时，有|y|=1，即y=±1．
当y=1时，1=-x²+4x-3，解得x=2，即Q点的坐标为（2，1）；
当y=-1时，-1=-x²+4x-3，解得x=2$±\sqrt{2}$，即Q（2+$\sqrt{2}$，-1），（2-$\sqrt{2}$，-1），
综上所述：存在⊙Q与坐标轴相切，圆心Q的坐标为（1，0），（-1，8），（2+$\sqrt{2}$，-1），（2-$\sqrt{2}$，-1）；
③当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有|x|=|y|．
当y=x时，-x²+4x-3=x，此方程无解；
当y=-x时，-x²+4x-3=-x，解得x=$\frac{5±\sqrt{13}}{2}$，当r=$\frac{5±\sqrt{13}}{2}$时，⊙Q与两坐标轴同时相切，
综上所述：当r=$\frac{5±\sqrt{13}}{2}$时，⊙Q与两坐标轴同时相切．

点评本题考查了二次函数综合题，利用相似三角形的判定与性质得出PD的长是解题关键；利用圆与坐标轴相切得出x或y的值是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．

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