Question

【题目】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A(－3，0)和B．将抛物线y＝x2＋bx＋c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．

(1)写出点B的坐标及求原抛物线的解析式：

(2)求证A，M，A1三点在同一直线上：

(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大．如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）见试题解析；（3）∴点P的坐标为（，-7）使四边形PM1MD的面积最大，面积最大值为

【解析】

试题（1）根据抛物线的对称性即可写出B的坐标，根据对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A（-3，0）代入即可得到方程组，解方程组即可求出b、c的值，即可得到答案；

（2）把x=1代入抛物线解析式即可得到M的坐标，根据旋转和图象即可求出M1、A1的坐标，设直线AM的表达式为y=kx+m，把A、M的坐标代入即可求出直线AM的解析式，根据以此函数图象上点的坐标特征确定点A1在直线AM上即可得到结论；

（3）连接M1D，如图，由于S△M1MD是定值，则要使四边形PM1MD的面积最大，只要S△M1PD最大，将△M1PD绕点B顺时针旋转90°，则点M1与点M重合，点P与点Q重合，点D与点F重合，利用旋转变换得点F的坐标为（-5，5），设点Q的坐标为（m，），易得直线MF的表达式为y=，则根据三角形面积公式得到S△PDM1=S△QMF=（-）×（5+1）=，根据二次函数的性质得当m=-2时，当m=-2时，S△M1PD最大=，则点Q（-2，-），利用旋转变换得点P的坐标为（，-7），然后计算S△DM1M的面积=24，再计算出四边形PM1MD的面积为24+=．

试题（1）解：∵点B与点A（-3，0）关于直线x=1对称，

∴点B的坐标为（5，0），与x轴的交点为A（-3，0）代入即可得到方程组，解得；

（2）点M1的坐标为（9，-4），点A1的坐标为（5，-8），设直线AM的表达式为y=kx+m，把A（-3，0），M（1，-4）代入解得，直线AM的解析式为y=-x-3，当x=5代入y=-x-3=-8，∴点A1在直线AM上，∴∠AMA1=180°；

（3）解：存在点P使四边形PM1MD的面积最大．

连接M1D，如图，∵S△M1MD是定值，∴要使四边形PM1MD的面积最大，只要S△M1PD最大，将△M1PD绕点B顺时针旋转90°，则点M1与点M重合，点P与点Q重合，点D与点F重合，则点Q，F都在抛物线y=上，由于F点的纵坐标为5，当y=5时，解得x1=-5，x2=7（舍去），∴点F的坐标为（-5，5），设点Q的坐标为（m，）易得直线MF的表达式为y=

∴S△PDM1=S△QMF==

当m=-2时，S△M1PD最大=∴点Q（-2，∴点P的坐标为（，-7），

∵点M的坐标为（1，-4），点M1的坐标为（9，-4），D（0，-10），

∴S△DM1M的面积=24，∴四边形PM1MD的面积为24+=，∴点P的坐标为（，-7）使四边形PM1MD的面积最大，面积最大值为．