Question

3．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c图象经过A（-1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况．

Answer 1

分析 （1）因为抛物线与x轴交于（-1，0）（4，0），可以假设y=a（x+1）（x-4），由题意a=-$\frac{1}{2}$代入整理即可求出b、c．
（2）①利用待定系数法思想求出点C坐标，利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由此即可解决问题；
②根据相似三角形的判定与性质，可得$\frac{ED}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$，根据等式的性质，可得$\frac{ED}{BC}$+$\frac{DF}{AC}$，再根据等量代换，可得答案．

解答 （1）解：因为抛物线与x轴交于（-1，0）（4，0），可以假设y=a（x+1）（x-4）
∵a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）
即y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）①证明：把C（m，m-1）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2得
m-1=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2，
∴m₁=-2，m₂=3，
∵C在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$，∴m＞1，
∴m=-2（不符合题意，舍），m=3，
∴C的坐标是（3，2），
∵BC∥DE   DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AB²=25   AC²=20   BC²=5
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴四边形?BECF是矩形．
②∵DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∴$\frac{ED}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$   （1）．
同理，得
$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$   （2），
（1）+（2）得
$\frac{ED}{BC}$+$\frac{DF}{AC}$=$\frac{AD+BD}{AB}$=1，
∵AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，CF=ED，
∴$\frac{ED}{\sqrt{5}}$+$\frac{DF}{2\sqrt{5}}$=1，
即2ED+DF=2$\sqrt{5}$，
∴ED+DF+FC=2$\sqrt{5}$，
∴DE、DF、CF的长度之和不变化，ED+DF+FC=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）①的关键是利用矩形的判定，又利用了勾股定理机勾股定理的逆定理；解②的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于$\frac{ED}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$，又利用了等式的性质，等量代换．