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如图(1),正方形ABCD的边长为8,点M、N分别为边AD、BC的中点.现有动点E沿N→B→A以每秒1个单位的速度运动,同时动点F沿C→D→M以相同速度运动.
(1)求在运动过程中形成的△CEF的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;
(2)何时点E、F与正方形的某一个顶点恰好连成一个等腰三角形,请写出此时t的值;
(3)如图(2),当点F从C向D运动时,连接FN,作FN的垂线交直线DA于点G,点P为GN的中点,连接PM、MF、PF.当△PMF的面积为12时,求对应的t的值.
分析:(1)分三种情况:当0≤t≤4时;当4≤t≤8时;当8≤t≤12时;根据图形的面积公式得出△CEF的面积S与运动的时间t之间的函数关系;
(2)分三种情况:当0≤t≤4时;当4≤t≤8时;当8≤t≤12时;根据等腰三角形的性质即可求得t的值;
(3)先根据S△PMF=S矩形MNCD+S△PMN-S△NCF-S△MDF-S△PNF列出代数式,再根据△PMF的面积为12,求对应的t值.
解答:解:(1)当0≤t≤4时,S=
1
2
t2+2t

当4<t≤8时,S=4t;
当8<t≤12时,S=-
1
2
t2+6t+16


(2)当0≤t≤4时,当t=-12+8
3
时,EF=DF;当t=4时,EF=AF;
当4<t≤8时,当t=8时,EF=EC;
当8<t≤12时,当t=20-8
2
时,EF=FC;当t=24-8
3
时,EF=EB;
∴t=-12+8
3
或4或8或20-8
2
24-8
3


(3)S△PMF=S矩形MNCD+S△PMN-S△NCF-S△MDF-S△PNF
=4×8+
1
2
×8t-
1
2
×4t-
1
2
×4×(8-t)-
1
2
(42+t2)

=-
1
2
t2+4t+8

-
1
2
t2+4t+8
=12,
解得t=4±2
2
点评:考查了相似形综合题,涉及到图形的面积计算,等腰三角形的性质,函数思想好分类思想,(3)也可利用S△PMF=S△PMN+S△FMN-S△PNF来计算.
练习册系列答案
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2
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(1)如图1,已知正方形ABCD与正方形DEFG,点A、D、E三点共线,则S△ADG
=
=
S△DCE(填“>”,“<”或“=”)
(2)如图2,将图1中正方形DEFG绕点D,逆时针转到如图的位置,则S△ADG
=
=
S△DCE(填“>”,“<”或“=”)
请说明理由.
(3)如图3,以△ABC三边向外作三个正方形,分别为正方形AEDC、正方形CFGB正方形ABHK,并且△ABC的边AC长为5,边AB长为4,则三角形AKE,三角形CDF,三角形BGH的面积和的最大值为
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