Question

（2012•北京二模）如图，已知点M（-

3

，2）和抛物线y=

1

3

x2，O为直角坐标系的原点．
（1）若直线y=kx+3经过点M，且与x轴交于点A，求∠MAO的度数；
（2）在（1）的条件下，将图中的抛物线向右平移，设平移后的抛物线与y轴交于点E，与直线AM的一个交点记作F，当EF∥x轴时，求抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）把点M的坐标代入直线y=kx+3计算求出k值，从而得到直线解析式，然后求出与x轴的交点坐标，过M作MN⊥x轴于点N，求出AN、MN的长度，再根据∠MAN的正切值求解即可；
（2）设平移后的抛物线顶点为P（h，0），令x=0求出点E的坐标，再根据EF∥x轴得到点F的纵坐标，然后代入抛物线解析式计算求出h的值，即可得解．

解答：解：（1）把点M（-

3

，2）代入y=kx+3，
得-

3

k+3=2，即k=

3

3

，
则直线AM是y=

3

3

x+3，
由

3

3

x+3=0，得x=-3

3

，
即点A（-3

3

，0），
过点M作MN⊥x轴于N，
在Rt△MAN中，则AN=2

3

，MN=2，
则tan∠MAN=

3

3

，
则∠MAO=∠MAN=30°；

（2）设平移后的抛物线顶点为P（h，0），其中h＞0，
则解析式变为y=

1

3

（x-h）²，
令x=0，得y=

1

3

h²，
所以，点E（0，

1

3

h²），
∵点F在平移后的抛物线上，且EF∥x轴，
∴点F（2h，

1

3

h²），
∵点F还在直线y=

3

3

x+3上，
∴

1

3

h²=

2 3

3

h+3，
整理得，h²-2

3

h-9=0，
解得，h₁=3

3

，h₂=-

3

（舍去），
故所求抛物线的顶点坐标是（3

3

，0）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，特殊角的三角函数，二次函数图象的几何变化，（2）利用顶点式形式表示出二次函数解析式是解题的关键．