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【题目】如图1,等腰RtABC中,∠ACB90°CBCA,在△ABE中,∠AEB90°AEBC交于点F

(1)若∠BAE30°BF2,求BE的长;

(2)如图2DBE延长线上一点,连接ADFDCD,若ABAD,∠ACD135°,求证:BD+BFAF

【答案】1BE1+;(2)见解析

【解析】

1)如图1中,作FEBAE.在RtBEF中,求出BEEF2,在RtAEF中,求得AE2,再在RtABE中,根据BEAB即可解决问题;

2)延长ACBD的延长线于H.只要证明BCH≌△ACFCDF≌△CDHAE垂直平分线段BD,即可解决问题;

1)解:如图1中,作FEBAE

CACB,∠C90°

∴∠ABC45°,∵∠BEF90°

∴△BEF是等腰直角三角形,

BF2

BEEF2

RtAEF中,∵∠EAF30°

AEEF2

AB2+2

RtABE中,∵∠BAE30°

BEAB1+

2)证明:如图2中,延长ACBD的延长线于H

∵∠BEF=∠ACF90°,∠BFE=∠AFC

∴∠HBC=∠CAF,∵CBCA,∠BCH=∠ACF

∴△BCH≌△ACF

AFBHCFCH

∵∠ACD135°,∠ACB90°

∴∠ECD=∠HCD45°

CDCD

∴△CDF≌△CDH

DFDH

ABADAEBD

BEED

AE垂直平分线段BD

FBFDDH

AFBHBD+DHBD+BF

BD+BFAF

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1,等腰ABC中,AB=ACBAC=120°,过点AADBC于点D,则DBC的中点,BAD=BAC=60°;于是==

1)迁移应用:

如图2ABCADE都是等腰三角形,BAC=DAE=120°DEC三点在同一条直线上,连接BD.求证:CD=AD+BD

2)拓展延伸

如图图3,在菱形ABCD中,ABC=120°,在ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CECF.若AE=5CE=2,求BF的长.

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