Question

4．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10cm，BC=4cm，点P沿线段AB从点A向点B运动，点P的运动速度是1cm/s．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出AP的值；若不存在，请说明理由．
（3）设△APD的面积为S₁，△CPB的面积为S₂，在运动过程中存在某一时刻t，使得S₁：S₂=2：5，请直接写出此时t的值：t=$\frac{20}{7}$s．

Answer 1

分析 （1）过C作CE⊥AB于点E，进而利用特殊直角三角形性质结合勾股定理得出答案；
（2）分别利用①当∠PCB=90°时，②当∠CPB=90°时，P点即为E点位置，分析得出答案；
（3）直接利用三角形位置关系得出AP：BP=2：5，进而得出答案．

解答 解：（1）如图1，过C作CE⊥AB于点E
在Rt△BEC中，BC=4，∠B=60°，
∴∠ECB=30°，
∴BE=2cm
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$（cm），
∵四边形AECD是矩形，
∴AD=CE=2$\sqrt{3}$cm；

（2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角，
①如图2，当∠PCB=90°时，
在Rt△BCP中，∠B=60°，BC=4，BP=2BC=8，AP=2，
PC=4$\sqrt{3}$，
在Rt△PAD中，AD=2$\sqrt{3}$，AP=2
∴∠DAP=∠PCB=90°，
∵$\frac{AP}{BC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{PC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{AP}{BC}$=$\frac{AD}{PC}$，
∴△ADP∽△CPB，此时AP=2cm；
②如图1，当∠CPB=90°时，P点即为E点位置，
Rt△CPB中，CP=2$\sqrt{3}$，PB=2，
Rt△ADP中，AD=2$\sqrt{3}$，AP=8
∠DAP=∠CPB=90°，
∵$\frac{PC}{AP}$=$\frac{2\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{PB}{AD}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{PC}{AP}$≠$\frac{PB}{AD}$，
∴△PCB与△ADP不相似，
综上所述，AP=2cm时，△ADP∽△CPB；

（3）由题意可得：△APD与△CPB同高，
∵S₁：S₂=2：5，
∴$\frac{AP}{BP}$=$\frac{2}{5}$，
则$\frac{AP}{10-AP}$=$\frac{2}{5}$，
解得：AP=$\frac{20}{7}$，
故t=$\frac{20}{7}$s．
故答案为：$\frac{20}{7}$s．

点评 此题主要考查了相似三角形综合以及三角形面积求法、勾股定理等知识，正确结合直角梯形性质分析是解题关键．