Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，CD=BC，E是CD上一点，BE⊥AC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当点E在CD上什么位置时，AB=BE成立？并说明理由．

Answer 1

分析：①要求证AD=EC，因为AD、EC分别为直角△ADC和直角△ECD的直角边，所以只要能证明两个直角三角形全等即可．
②假设AB=BE成立，借助辅助线证明△ABF和△BEC全等，运用矩形、全等三角形的性质判定CE与CD的关系即可．

解答：①证明：∵AC⊥BE，
∴∠BEC+∠ACE=∠EBC+∠ACB，
∴∠ACE=∠EBC，
又∵在直角梯形ABCD中：AD∥BC，∠BCD=90°，
在直角△ACD和直角△BEC中：BC=CD，∠BCD=∠ADC，
∴△ACD≌△BEC（AAS），
∴AD=EC；

②当E在CD的中点位置时，AB=BE．
过A作AF⊥BC，∵AD∥BC，∠BCD=90°，
∴∠AFC=90°，AD=FC，AF=DC，
由（1）可知AC=BE，AD=EC=

1

2

CD，又CD=BC，
∴FC=

1

2

BC，又AF⊥BC，
∴AB=AC=BE．
∴当E在CD的中点位置时，AB=BE成立．

点评：本题主要考查了直角梯形的性质，直角三角形的相关知识，全等三角形的判定和性质，综合运用了全等三角形的性质和判定，此类题注意已证明的结论的充分运用．