Question

8．在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM=60°，交∠ACG的平分线于点M．
（1）如图（1），当点E在BC边的中点位置时，通过测量AE，EM的长度，猜想AE与EM满足的数量关系是相等；
（2）如图（2），小晏通过观察、实验，提出猜想：当点E在BC边的任意位置时，始终有AE=EM．小晏把这个猜想与同学进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：在BA上取一点H使AH=CE，连接EH，要证AE=EM，只需证△AHE≌△ECM．
想法2：找点A关于直线BC的对称点F，连接AF，CF，EF．（易证∠BCF+∠BCA+ACM=180°，所以M，C，F三点在同一直线上）要证AE=EM，只需证△MEF为等腰三角形．
想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接CF，EF，要证AE=EM，只需证四边形MCFE为平行四边形．
请你参考上面的想法，帮助小晏证明AE=EM．（一种方法即可）

Answer 1

分析 （1）取AB的中点N，连接EN，可证明△ANE≌△ECM，可证得AE=EM；
（2）根据每一种想法中的方法构造三角形全等即可证明．

解答 解：
（1）相等．
证明如下：
如图1，取AB的中点N，连接EN，

∵△ABC为等边三角形，E、N为中点，
∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，
∴AN=NE=EC，∠NAE=∠NEA=30°，
∴∠ANE=120°，
∵∠AEM=60°，
∴∠MEC=30°，
∴∠NAE=∠CEM，
∵CM平分∠ACG，
∴∠ACM=60°，
∴∠ECM=∠ANE=120°，
在△ANE和△ECM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAE=∠MEC}\\{AN=EC}\\{∠ANE=∠ECM}\end{array}\right.$
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴AE=EM；
故答案为：相等；
（2）想法一：如图2，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=60°．
∵AH=CE，∴BH=BE．
∴∠BHE=60°．
∴AC∥HE．
∴∠1=∠2．
在△AOE和△COM中，∠ACM=∠AEM=60°，∠AOE=MOE，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∵∠BHE=60°，
∴∠AHE=120°．
∵∠ECM=120°．
∴∠AHE=∠ECM．
∵AH=CE，
∴△AHE≌△ECM（AAS）．
∴AE=EM．
想法二：如图3，

∵在△AOE和△COM中，
∠ACM=∠AEM=60°，
∠AOE=∠COM，
∴∠EAC=∠EMC．
又由对称可知△ACE≌△FCE，
∴∠EAC=∠EFC，AE=EF．
∴∠EMC=∠EFC．
∴EF=EM．
∴AE=EM．
想法三：如图4，

∵将线段BE绕点B顺时针旋转60°，
∴可证△ABE≌△CBF（SAS）．
∴∠1=∠2  AE=CF．
∵∠AEM=∠CBA=60°，
∴∠1=∠CEM．
∴∠2=∠CEM．
∴EM∥CF．
∵∠CBF=60°，BE=BF，
∴∠BEF=60°，
∴∠MCE=∠CEF=120°．
∴CM∥EF．
∴四边形MCFE为平行四边形．
∴CF=EM．
∴AE=EM．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、几何变换、平行四边形的判定和性质等知识点．根据题目条件构造相应的全等三角形是解题的关键，注意等边三角形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．