Question

5个正方形如图摆放在同一直线上，线段BQ经过点E、H、N，记△RCE、△GEH、△MHN、△PNQ的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，已知S₁+S₃=17，则S₂+S₄=

68

．

Answer 1

分析：由如图5个正方形摆放在同一直线上，可得tan∠EBF=tan∠AEB=

EF

BF

=

1

2

，∠GHE=∠MNH=∠PQN=∠EBF，然后设DR=a，则EF=BD=CD=CE=2a，根据三角函数的知识，即可得：MH=4a，MN=8a，PN=8a，PQ=16a，又由S₁+S₃=17，即可求得a²的值，继而可求得S₂+S₄的值．

解答：解：∵四边形ABDC与四边形CDFE是正方形，
∴BD=DF=EF，AE∥BF，
∴∠EBF=∠AEB，
∴tan∠EBF=tan∠AEB=

EF

BF

=

1

2

，
同理可得：∠GHE=∠MNH=∠PQN=∠EBF，
设DR=a，则EF=BD=CD=CE=2a，
∴CR=a，
∵tan∠EBF=

HI

BI

=

1

2

，
∴FI=HI=GH=4a，
∴GE=2a，
同理可得：MH=4a，MN=8a，PN=8a，PQ=16a，
∴S₁+S₃=

1

2

×a×2a+

1

2

×4a×8a=17，
解得：a²=1，
∴S₂+S₄=

1

2

×2a×4a+

1

2

×8a×16a=68a²=68．
故答案为：68．

点评：此题考查了正方形的性质、三角函数的性质以及面积与等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是根据题意设DR=a，根据三角函数的知识，求得CE、CR、MH、MN、PN、PQ，然后由S₁+S₃=17，求得a²的值．