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如图,⊙O的半径为2,弧AB等于120°,E是劣弧AB的中点.
(1)如图①,试说明:点O、E关于AB对称(即AB垂直平分OE.);
(2)把劣弧AB沿直线AB折叠(如图②)⊙O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切,求CD的长度的变化范围.
(1)证明:连接OA,OB,AE,BE,OE,且AB与OE交于点C.
∵E是劣弧AB的中点,∴OE⊥AB,且AC=BC(垂径定理),
∠AOE=∠BOE=
1
2
∠AOB.
AB
=120°,∴∠AOB=120,∠AOE=∠BOE=60°.
∵AO=OE,∴△AOE是等边三角形.
∴OC=EC(等腰三角形“三线合一”)
∴AB垂直平分OE.
因此,点O,E关于AB对称.

(2)当弦CD过圆心O时最长,即是直径,CD=4;
当弦CD过A或B与折叠后的弧相切时最短.这时CD与AE垂直(假设C与点A重合).
连接DE,则DE过圆心O(直角所对的弦是直径),
∵∠AED=60度(在证对称时已证),
AE=AO=2,ED=4,所以,AD=
16-4
=2
3

CD的长度变化范围是:2
3
≤CD≤4

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A.
25
4
B.
15
4
C.
25
2
D.
15
2

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