Question

如图，AB为⊙O的直径，D为弦BE的中点，连接OD并延长交⊙O于点F，与过B点的切线相交于点C．若点E为的中点，连接AE．
求证：△ABE≌△OCB．

Answer 1

证明：如图．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
又∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°．
∴∠E=∠OBC．
∵OD过圆心，BD=DE，
∴．
∴∠BOC=∠A，
∵E为中点，
∴．
连接OE，
∴∠AOE=60°，
∴∠ABE=30°．
∵∠E=90°，
∴AE=AB=OB．
∴△ABE≌△OCB．
分析：AB是圆的直径，我们可得出∠E为直角，BC切圆于B点，那么CB⊥AB，由此我们就得出了∠E=∠OBC=90°，D为弦BE的中点，根据垂径定理我们不难得出，弧EF=弧BF，又有弧AE=弧EF，那么弧AE=弧EF=弧BF，由此我们可得出∠ABE=30°以及∠BOC=∠A，在Rt△ABE中，AE=AB=OB，这样就达到了全等三角形判定里的角角边的条件．
点评：考查圆周角、圆心角、垂径定理、三角形全等的问题．命题者的意图是考查学生逻辑推理能力以及公理化的思想．