Question

（2013•老河口市模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，BC=（

2

+1）AD，以AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC=

75°或165°

．

Answer 1

分析：过点A作AF∥CD交BC于F，可得四边形AFCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AD=FC，AF=CD，再求出BF，然后利用勾股定理逆定理判定△ABF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠ABF=45°，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD=135°，然后分①点E在AD的上方时，根据周角等于360°求出∠BAE，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABE，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②点E在AD的下方时，求出∠BAE，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABE，然后求出∠CBE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答：解：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，
过点A作AF∥CD交BC于F，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AD=FC，AF=CD，
∵AB=AD，BC=（

2

+1）AD，
∴BF=BC-FC=（

2

+1）AD-AD=

2

AD，
在△ABF中，AB²+AF²=AD²+AD²=2AD²=BF²，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠ABF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°-∠ABF=180°-45°=135°，
①如图1，等边三角形ADE的顶点E在AD的上方时，
∠BAE=360°-60°-135°=165°，
∵AB=AD=AE，
∴∠ABE=

1

2

（180°-165°）=7.5°，
∴∠CBE=∠ABF+∠ABE=45°+7.5°=52.5°，
同理可得∠BCE=52.5°，
∴∠BEC=180°-52.5°×2=75°；
②如图2，等边三角形ADE的顶点E在AD的下方时，
∠BAE=∠BAD-∠DAE=135°-60°=75°，
∵AB=AD=AE，
∴∠ABE=

1

2

（180°-75°）=52.5°，
∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=52.5°-45°=7.5°，
同理可得∠BCE=7.5°，
∴∠BEC=180°-7.5°×2=165°；
综上所述，∠BEC=75°或165°．
故答案为：75°或165°．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理的应用，等边对等角的性质，梯形的问题关键在于作辅助线，本题利用勾股定理逆定理判断出△ABF是等腰直角三角形是解题的关键，难点在于要分情况讨论．