Question

1．已知${y_1}=\frac{1}{x-1}，且{y_2}=\frac{1}{{1-{y_1}}}，{y_3}=\frac{1}{{1-{y_2}}}，{y_4}=\frac{1}{{1-{y_3}}}…{y_n}=\frac{1}{{1-{y_{n-1}}}}$请计算 y₂₀₁₅=$\frac{x-1}{x-2}$．（用含x的代数式表示）

Answer 1

分析 首先把y₁代入y₂，利用x表示出y₂，进而表示出y₃，y₄，得到循环关系

解答 解：y₂=$\frac{1}{1-\frac{1}{x-1}}$=$\frac{1}{\frac{x-2}{x-1}}$=$\frac{x-1}{x-2}$；
y₃=$\frac{1}{1-\frac{x-1}{x-2}}$=$\frac{1}{\frac{-1}{x-2}}$=2-x；
y₄=$\frac{1}{1-（2-x）}$=$\frac{1}{x-1}$，
则y的值3个一次循环，则y₂₀₁₅=y₂=$\frac{x-1}{x-2}$．
故答案是：$\frac{x-1}{x-2}$．

点评 本题考查了分式的混合运算，正确对分式进行化简，求得y₂、y₃、y₄的值，得到循环关系是关键．