Question

如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．

小题1:求证：CF=BF；
小题2:若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长

Answer 1

小题1:连结AC，如图
∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC=∠DBC
又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴ ∠BCE=∠BAC，
∠BCE=∠DBC
∴  CF=BF 因此，CF=BF．                 3分
小题2:证法一：作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点   ∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分线．
∴  CE=CG，AE="AG" ，在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE="CG" ，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG，∴BE="DG" ，∴AE=AB-BE=AG=AD+DG即   6-BE=2+DG      
∴2BE=4，即BE=2 又 △BCE∽△BAC，∴
（舍去负值），∴                          7分
（2）证法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB

∴∠BEF=，
在与中，
∵
∴∽，则 
即，  ∴ 
又∵， ∴
利用勾股定理得： 
又∵△EBC∽△ECA则，即则 
∴即
∴  ∴ 

（1）等弧对等角；
（2）以上两种解题方法都用到了三角形的相似。