Question

【题目】如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转60°得到，连接DE.

（1）如图1，求证：是等边三角形；

（2）如图2，当6<t<10时，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由.

（3）当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在，2+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

【解析】

试题

（1）由旋转的性质结合△ABC是等边三角形可得∠DCB=60°，CD=CE，从而可得△CDE是等边三角形；

（2）由（1）可知△CDE是等边三角形，由此可得DE=CD，因此当CD⊥AB时，CD最短，则DE最短，结合△ABC是等边三角形，AC=4即可求得此时DE=CD=；

（3）由题意需分0≤t＜6，6＜t＜10和t＞10三种情况讨论，①当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，由此可知：此时若△DBE是直角三角形，则∠BED=90°；②当6＜t＜10s时，由性质的性质可知∠DBE=120°＞90°，由此可知：此时△DBE不可能是直角三角形；③当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，结合∠CDE=60°可得∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC>60°，由此可得∠BED<60°，由此可知此时若△BDE是直角三角形，则只能是∠BDE=90°；这样结合已知条件即可分情况求出对应的t的值了.

试题解析：

（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，

∴∠DCE=60°，DC=EC，

∴△CDE是等边三角形；

（2）存在，当6＜t＜10时，

由（1）知，△CDE是等边三角形，

∴DE=CD，

由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最小，

此时∠ADC=90°，又∵∠ACD=60°，

∴∠ACD=30°，

∴ AD=AC=2，

∴ CD=，

∴ DE=2（cm）；

（3）存在，理由如下：

①当0s≤t＜6s时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，

∴此时若△DBE是直角三角形，则∠BED=90°，

由（1）可知，△CDE是等边三角形，

∴∠DEC=60°，

∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°，

∴∠CDA=∠CEB=30°，

∵∠CAB=60°，

∴∠ACD=∠ADC=30°，

∴DA=CA=4，

∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，

∴t=2÷1=2（s）；

②当6s＜t＜10s时，由性质的性质可知∠DBE=120°＞90°，

∴此时△DBE不可能是直角三角形；

③当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，

又由（1）知∠CDE=60°，

∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE=90°，

从而∠BCD=30°，

∴BD=BC=4，

∴OD=14cm，

∴t=14÷1=14（s）；

综上所述：当t=2s或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.