Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点O作OE∥AB交BC于点E，连接DE．  
（1）求证：DE是⊙O的切线； 
（2）若☉O的半径为3，EC=4，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，CD，根据平行线等分线段定理得到BE=CE，由AC是⊙O的直径，得到CD⊥AB，由直角三角形的性质得到DE=CE，根据全等三角形的性质得到∠ODE=∠ACB=90°，根据得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB=10，根据切割线的定理得到BC²=BD•AB，于是得到结论．

解答 解：（1）连接OD，CD，
∵OE∥AB，AO=OC，
∴BE=CE，
∵AC是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，
∴DE=CE，
在△ODE与△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}\\{OE=OE}\\{OD=OC}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△COE，
∴∠ODE=∠ACB=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵☉O的半径为3，EC=4，∠ACB=90°，
∴BC=8，AC=6，
∴AB=10，
∵BC是⊙O的切线，
∴BC²=BD•AB，
∴BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{64}{10}$=$\frac{32}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．