Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣经过点A（﹣2，），与x轴相交于B，C两点，且B点坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；

（3）抛物线与y轴交于点Q，连接BQ，DQ，在抛物线上有一个动点P，且S△PBD＝S△BDQ，求满足条件的点P的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或

【解析】

（1）利用待定系数法可求解析式；

（2）设对称轴于BC的交点为E，先求出点C，点E坐标，可求BC=4，BE=CE=2，由折叠的性质可得BC'的长，由勾股定理可求C'E，DE的长，即可求解；

（3）分两种情况讨论，利用等底等高的两个三角形的面积相等，可求解．

（1）将A（﹣2，），B（-1，0）代入y＝ax2+bx﹣中，

可得，

∴，

∴；

（2）如图，设对称轴于BC的交点为E，

∵与x轴交于A，B两点，

∴；

∴x1=-1，x2=3，

∴点C（3，0），

∴对称轴为直线x=1，

∴BE=CE=2，BC=4，

∵点D在抛物线的对称轴上，

∴BD=CD，

∵将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，

∴BC=BC'=4，CD=C'D，

∴BD=C'D，

∴，

∴

∵BD2=DE2+BE2，

∴，

∴，

∴点；

（3）如图，设BD交y轴于点F，

∵点B（-1，0），点，

∴直线BD解析式为：，

∴点，

∵抛物线的解析式为：与y轴交于点Q，

∴点，

∴，

若点Q，点P在BD的同侧时，

∵S△PBD=S△BDQ，

∴点P与点Q到直线BD的距离相等，即PQ∥BD，

∴直线PQ解析式为：，

∴，

∴x=0，，

∴点P的横坐标为；

若点P与点Q在BD的两侧时，

∵S△PBD=S△BDQ，

∴点P与点Q到直线BD的距离相等，

∵点，点，

∴，

在y轴上截取HF=FQ，过点H作BD的平行线交抛物线于点P'和P'，

∴，

∴点H坐标，

∴直线HP'解析式为：，

∴，

∴，

综上所述：当点P的横坐标为或或时，S△PBD=S△BDQ．