Question

（2013•梧州模拟）如图：等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁经过⊙O₂的圆心，顺次连接A、O₁、B、O₂．
（1）求证：四边形AO₁BO₂是菱形；
（2）过直径AC的端点C作⊙O₁的切线CE交AB的延长线于E，连接CO₂交AE于D，求证：CE=2DO₂；
（3）在（2）的条件下，若S △AO2D=1，求S △O2DB的值．

Answer 1

分析：（1）根据⊙O₁和⊙O₂是等圆，再由半径相等，可得AO₁=O₁B=BO₂=O₂A，继而得出四边形AO₁BO₂是菱形；
（2）根据（1）的结论，可得∠O₁AB=∠O₂AB，由切线及圆周角定理可得∠ACE=∠AO₂C=90°，从而判断△ACE∽△AO₂D，再由相似三角形的对应边成比例，可得出结论；
（3）根据AC∥BO₂，可判断△ACD∽△BO₂D，从而得出

DB

AD

=

BO2

AC

=

1

2

，AD=2BD，再由高相等的两三角形的面积之比等于底边之比，可得出△O₂DB的面积．

解答：证明：（1）∵⊙O₁与⊙O₂是等圆，
∴AO₁=O₁B=BO₂=O₂A，
∴四边形AO₁BO₂是菱形．
（2）∵四边形AO₁BO₂是菱形，
∴∠O₁AB=∠O₂AB，
∵CE是⊙O₁的切线，AC是⊙O₁的直径，
∴∠ACE=∠AO₂C=90°，
∴△ACE∽△AO₂D，
∴

DO2

EC

=

AO2

AC

=

1

2

，
即CE=2DO₂．
（3）∵四边形AO₁BO₂是菱形
∴AC∥BO₂，
∴△ACD∽△BO₂D，
∴

DB

AD

=

BO2

AC

=

1

2

，
∴AD=2BD，
又∵S △AO2D=1，
∴S_△O2DB=

1

2

．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理、切线的性质、菱形的判定及相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，解答本题需要同学具有扎实的基本功，能将所学知识融会贯通．