Question

下面让我们来探究有关材料的利用率问题：工人师傅要充分利用一块边长为100 cm的正三角形簿铁皮材料(如图1)来制作一个圆锥体模型(制作时接头部分所用材料不考虑)．

(1)求这块三角形铁皮的面积(结果精确到0.01 cm²)；

(2)假如要制作的圆锥是一个无底面的模型，且使三角形铁皮的利用率最高，请你在图2中画出裁剪方案的草图，并计算出铁皮的利用率(精确到1％)；

(3)假如要用这块铁皮裁一块完整的圆形和一块完整的扇形，使之配套，恰好做成一个封闭圆锥模型，且使铁皮得到充分利用，请你设计一种裁剪方案，在图3中画出草图，并计算出铁皮的利用率(精确到1％)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)过点A作AD⊥BC于点D 　　∵△ABC是等边三角形 　　∴　　　　　　　　　(2分) 　　根据勾股定理得：　　　(3分) 　　∴S△ABC＝　　　(4分) 　　(2)如图：当扇形与BC边相切时，三角形铁皮的利用率最高…(6分) 　　 　　∴利用率≈﹪≈91﹪　　　　　　　　　　　　　　　(8分) 　　(3)方案1： 　　如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与BC相切于点E则A、E、O、D在同一直线上，且AE⊥BC　　　(9分) 　　设扇形半径为，⊙O半径为 　　则有　　　(10分) 　　 　　∴利用率≈60﹪　　　　　　　　　(13分) 　　方案2： 　　如图，⊙O与半圆⊙D相切于点E，⊙O与AB、AC相切于点F、G， 　　连结OF，则OF⊥AB，设⊙D的半径为，设⊙O的半径为， 　　∵∠BAD＝30°，∴AO＝2　　　　　　(9分) 　　　　　　(10分)(13分) 　　∴　　　　(12分) 　　利用率≈65﹪　　　　　　　　　　　　(13分) 　　方案3： 　　如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与AB、BC分别相切于点F、G， 　　连结AO、OF、OB， 　　则AO过点E，OF⊥AB，BO平分∠ABC， 　　设⊙O的半径为，扇形的半径为， 　　则有OB＝2，BF＝　　　　　　　　　　(9分) 　　∵∴＝6　　　　　　　　　(10分) 　　∴ 　　∵AF＋BF＝100，∴ 　　∴　　　　　　　　　　　　　(12分) 　　利用率≈68﹪　　　　　　　　　　　(13分)