已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,点M是边AC上一动点(与点A、C不重合),点N在边CB的延长线上,且AM=BN,连接MN交边AB于点P.
(1)求证:MP=NP;
(2)若设AM=x,BP=y,求y与x之间的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)当△BPN是等腰三角形时,求AM的长.
(1)见解析
(2)y与x之间的函数关系式为,它的定义域是0<x<4
(3)
【解析】
试题分析:(1)过点M作MD∥BC交AB于点D,求出DM=BN,证△MDP≌△NBP即可;
(2)求出AB,根据△MDP≌△NBP推出DP=BP,推出方程即可;
(3)求出BP=BN,所得方程的解即可.
(1)证明:过点M作MD∥BC交AB于点D,
∵MD∥BC,
∴∠MDP=∠NBP,
∵AC=BC,∠C=90°,
∴∠A=∠ABC=45°,
∵MD∥BC,
∴∠ADM=∠ABC=45°,
∴∠ADM=∠A,
∴AM=DM.
∵AM=BN,
∴BN=DM,
在△MDP和△NBP中
,
∴△MDP≌△NBP,
∴MP=NP.
(2)【解析】
在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,AC=BC=4,
∴.
∵MD∥BC,
∴∠AMD=∠C=90°.
在Rt△ADM中,AM=DM=x,
∴.
∵△MDP≌△NBP,
∴DP=BP=y,
∵AD+DP+PB=AB,
∴,
∴所求的函数解析式为,
定义域为0<x<4.
答:y与x之间的函数关系式为,它的定义域是0<x<4.
(3)【解析】
∵△MDP≌△NBP,
∴BN=MD=x.
∵∠ABC+∠PBN=180°,∠ABC=45°,
∴∠PBN=135°.
∴当△BPN是等腰三角形时,只有BP=BN,即x=y.
∴,
解得,
∴当△BPN是等腰三角形时,AM的长为.
答:AM的长为.
科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上3.1认识不等式1(解析版) 题型:?????
(2011•仙桃)某不等式组的解集在数轴上表示如图,则这个不等式组可能是( )
A. B. C. D.
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.7探索勾股定理(解析版) 题型:填空题
如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在网格中画出一个以AB为边的等腰三角形,使另一个顶点在格点上,且另两边的长都是无理数.
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.7探索勾股定理(解析版) 题型:选择题
如图,正方形A的面积为36,正方形B的面积为64,则正方形C的面积是( )
A.49 B.100 C.144 D.81
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.4等腰三角形的判定定理2(解析版) 题型:解答题
如图,BD是等边△ABC的高,E是BC延长线上一点,且.
(1)直接写出CE与CD的数量关系;
(2)试说明△BDE是等腰三角形.
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.4等腰三角形的判定定理2(解析版) 题型:填空题
如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=8,BC=5,则BD的长为 .
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.4等腰三角形的判定定理2(解析版) 题型:填空题
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若要在直线BC或直线AC上取一点P,使△ABP是等腰三角形,符合条件的点P有 个点.
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.4等腰三角形的判定定理1(解析版) 题型:?????
三角形中,一条边的垂直平分线恰好经过三角形的另一个顶点,那么这个三角形一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
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科目:初中数学 来源:2015年课时同步练习(浙教版)八年级上2.2等腰三角形2(解析版) 题型:填空题
如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=5,∠B=60°,则AB的长为 .
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