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    已知：如图，三点在同一条直线上，，，．
    求证：．（本题10分）

    ∵∴, 
    又∵∴，∵（AAS），∴

    解析

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．
    原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．
    小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．
    小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．
    小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．
    请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
    （1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
    （2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
    （3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，精英家教网你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是
    等底同高
    等底同高
    ．
    （2）如图2梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，请找出图中三对面积相等的三角形，
    △ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC
    △ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC
    ．
    （3）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知C、D、E三点在同一直线上，∠1=105°，∠A=75°．
    求证：AB∥CD．
    证明一：∵C、D、E三点在同一直线上，
    ∴∠1+∠2=180°（平角定义），
    ∵∠1=105°，
    ∴∠2=75°
    （邻补角的定义）
    （邻补角的定义）
    ，
    又∵∠A=75°，
    ∴∠2=∠A，
    ∴AB∥CD
    内错角相等，两直线平行
    内错角相等，两直线平行
    ．
    证明二：∵C、D、E三点在同一直线上，
    ∴∠1和∠A是直线AB和直线CD被直线AD所截得到的同旁内角（同旁内角定义），
    又∵∠A=75°，∠1=105°，
    ∴∠A+∠1=75°+105°=180°，
    ∴AB∥CD
    同旁内角互补，两直线平行
    同旁内角互补，两直线平行
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （1）完成下面的证明：
    已知：如图1，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．
    求证：∠EGF=90°．
    证明：∵HG∥AB，（已知） 
    ∴∠1=∠3． （
    两直线平行，内错角相等
    两直线平行，内错角相等
     ）
    又∵HG∥CD，（已知）
    ∴∠2=∠4．  （
    两直线平行，内错角相等
    两直线平行，内错角相等
    ）
    ∵AB∥CD，（已知）
    ∴∠BEF+
    ∠EFD
    ∠EFD
    =180°．（
    两直线平行，同旁内角互补
    两直线平行，同旁内角互补
    ）
    又∵EG平分∠BEF，（已知）
    ∴∠1=
    1
    2
    ∠
    BEH
    BEH
    ．（
    角平分线定义
    角平分线定义
    ）
    又∵FG平分∠EFD，（已知）
    ∴∠2=
    1
    2
    ∠
    EFD
    EFD
    ．（
    角平分线定义
    角平分线定义
    ）
    ∴∠1+∠2=
    1
    2
    （
    ∠BEH
    ∠BEH
    +
    ∠EFD
    ∠EFD
    ）．
    ∴∠1+∠2=90°．
    ∴∠3+∠4=90°．（
    等量代换
    等量代换
    ）．即∠EGF=90°．
    （2）如图2，已知∠ACB=90°，那么∠A的余角是哪个角呢？答：
    ∠B
    ∠B
    ；
    小明用三角尺在这个三角形中画了一条高CD（点D是垂足），得到图3，
    ①请你帮小明在图中画出这条高；
    ②在图中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了三对余角，你能帮小明把它们写出来吗？答：a
    ∠ACD与∠BCD
    ∠ACD与∠BCD
    ；b
    ∠A与∠ACD
    ∠A与∠ACD
    ；c
    ∠B与∠BCD
    ∠B与∠BCD
    ．
    ③∠ACB，∠ADC，∠CDB都是直角，所以∠ACB=∠ADC=∠CDB，小明还发现了另外两对相等的角，请你也仔细地观察、认真地思考分析，试一试，能发现吗？把它们写出来，并请说明理由．
    （3）在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
    ①观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为
    （16，3）
    （16，3）
    ，B4的坐标为
    （32，0）
    （32，0）
    ．
    ②按以上规律将△OAB进行n次变换得到△AnBn，则可知An的坐标为
    （2n，3）
    （2n，3）
    ，Bn的坐标为
    （2n+1，0）
    （2n+1，0）
    ．
    ③可发现变换的过程中A、A1、A2、…、An纵坐标均为
    3
    3
    ．

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    科目：初中数学 来源：数学教研室 题型：044

    如图，已知A、B、C三点在一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G，求证：AE＝DC，BF＝BG．

     

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