【题目】已知射线是的角平分线,,点是射线上的点,连接.
(1)如图1,当点在射线上时,连接,.若,则的形状是_____.
(2)如图2,当点在射线的反向延长线上时,连接,.若,则(1)中的结论是否成立?请说明理由.
【答案】(1)等边三角形;(2)成立,理由见解析.
【解析】
(1)利用四边形的内角和即可得出∠BCD的度数,再利用角平分线的性质定理即可得出CB,即可得出结论;
(2)作CE⊥AM于E,作CF⊥AN于F,根据角平分线的性质得到 CE=CF,
再根据∠ABC=∠ADC,证明△BCF≌△DCE,得到BC=CD即可证明.
(1)∵射线AC是∠MAN的角平分线,∠NAC=60°,
∴∠MAN=120°,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
根据四边形的内角和得,∠BCD=360°(∠ABC+∠ADC+∠MAN)=60°,
∵AC是∠MAN的平分线,CD⊥AM.CB⊥AN,
∴CD=CB(角平分线的性质定理),
∴△BCD是等边三角形;
(2)成立,如图所示,作CE⊥AM于E,作CF⊥AN于F,
∵AC是∠NAM的角平分线,CE⊥AM,CF⊥AN,
∴CE=CF,
∵∠ABC=∠ADC,
∴△BCF≌△DCE,
∴BC=CD,
∵∠BCD=∠BAD=60°,
∴△BCD是等边三角形.
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【题目】周未,小丽骑自行车从家出发到野外郊游,从家出发0.5小时到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地,小丽离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,行驶10分钟时,恰好经过甲地,如图是她们距乙地的路程y(km)与小丽离家时间x(h)的函数图象.
(1)小丽骑车的速度为 km/h,H点坐标为 ;
(2)求小丽游玩一段时间后前往乙地的过程中y与x的函数关系;
(3)小丽从家出发多少小时后被妈妈追上?此时距家的路程多远.
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【题目】如图,直线l:y=-x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P(m,5)为直线l上一点.动点C从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动.设点C的运动时间为t秒.
(1)①m= ;
②当t= 时,△PBC的面积是1.
(2)请写出点C在运动过程中,△PBC的面积S与t之间的函数关系式;
(3)点D、E分别是直线AB、x轴上的动点,当点C运动到线段QB的中点时(如右图),△CDE周长的最小值是 .
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,点E为△ABC内切圆的圆心,连接AE的延长线交BC于点F,交⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求证:直线DM是⊙O的切线;
(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.
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【题目】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系,并证明你的结论;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(请直接写出结果,不必写出理由)
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【题目】某学校有一块长方形活动场地,长为米,宽比长少米,实施“阳光体育”行动以后,学校为了扩大学生的活动场地,让学生能更好地进行体育活动,将操场的长和宽都增加米.
(1)求活动场地原来的面积是多少平方米.(用含的代数式表示)
(2)若,求活动场地面积增加后比原来多多少平方米.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16 cm,AD为BC边上的高,动点P从点A出发,沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动,过P点作矩形PDFE(E点在AC上),设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<t<8).
(1)经过几秒钟后,S1=S2?
(2)经过几秒钟后,S1+S2最大?并求出这个最大值.
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