Question

【题目】已知射线是的角平分线，，点是射线上的点，连接.

(1)如图1，当点在射线上时，连接，.若，则的形状是_____.

(2)如图2，当点在射线的反向延长线上时，连接，.若，则(1)中的结论是否成立？请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)等边三角形；(2)成立，理由见解析.

【解析】

（1）利用四边形的内角和即可得出∠BCD的度数，再利用角平分线的性质定理即可得出CB，即可得出结论；

（2）作CE⊥AM于E，作CF⊥AN于F，根据角平分线的性质得到 CE=CF，

再根据∠ABC=∠ADC，证明△BCF≌△DCE，得到BC=CD即可证明.

（1）∵射线AC是∠MAN的角平分线，∠NAC＝60°，

∴∠MAN＝120°，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

根据四边形的内角和得，∠BCD＝360°（∠ABC＋∠ADC＋∠MAN）＝60°，

∵AC是∠MAN的平分线，CD⊥AM．CB⊥AN，

∴CD＝CB（角平分线的性质定理），

∴△BCD是等边三角形；

（2）成立，如图所示，作CE⊥AM于E，作CF⊥AN于F，

∵AC是∠NAM的角平分线，CE⊥AM，CF⊥AN，

∴CE=CF，

∵∠ABC=∠ADC，

∴△BCF≌△DCE，

∴BC=CD，

∵∠BCD=∠BAD=60°，

∴△BCD是等边三角形.