Question

（2012•南岗区一模）如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，直线y=-

1

2

x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，过点0作OD⊥AB，垂足为D．

（1）求直线OD的解析式；
（2）点P从点A出发，沿射线AB以每秒

5

个单位长度的速度匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为点Q．设线段0Q的长为d（d＞0），点P的运动时间为t（秒），求d与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接OP，是否存在t的值，使OP²=BP•AP？若存在，求出t的值，同时通过计算推理判断，此时以

6 5

5

为半径的⊙D与直线OP的位置关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点D作DC⊥OA于C，由直线y=-

1

2

x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，可求得A（10，0），B（0，5），又由OD⊥AB，利用直角三角形的面积公式，即可求得OD的长，利用三角函数的知识即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法求得直线OD的解析式；
（2）易得△APQ∽△ABO，然后根据相似三角形的对应边成比例，易求得AQ的值，然后分别从0＜t≤5与t＞5去分析求解，即可求得d与t的函数关系式；
（3）由OP²=OQ²+PQ²与OP²=BP•AP，分别从0＜t≤5与t＞5去求解，即可求得k的值；然后分别求k取不同值时，以

6 5

5

为半径的⊙D与直线OP的位置关系．

解答：解：（1）过点D作DC⊥OA于C，
∵直线y=-

1

2

x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A（10，0），B（0，5），
即OA=10，OB=5，
∴AB=

OA2+OB2

=5

5

，
∴sin∠OAB=

OB

AB

=

5

5

，cos∠OAB=

OA

AB

=

2 5

5

，
∵OD⊥AB，
∴OD=

OA•OB

AB

=2

5

，
∵∠AOD+∠ODC=90°，∠AOD+∠OAB=90°，
∴∠ODC=∠OAB，
∴OC=OD•sin∠ODC=2

5

×

5

5

=2，CD=OD•cos∠ODC=2

5

×

2 5

5

=4，
∴点D的坐标为：（2，4），
设直线OD的解析式为：y=kx（k≠0），
则2k=4，
解得：k=2，
∴直线OD的解析式为：y=2x；

（2）∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△APQ∽△ABO，
∴AQ：AO=AP：AB，
∵AB=5

5

，OA=10，OB=5，AP=

5

t，
∴AQ：10=

5

t：5

5

，
∴AQ=2t，
当0＜t≤5时，d=OQ=OA-AQ=10-2t，
当t＞5时，d=OQ=AQ-OA=2t-10；
∴d与t的函数关系式为：d=

10-2t  (0＜t≤5) 2t-10  (t＞5)

；

（3）存在，理由如下：
∵PQ：OB=AP：AB，
∴PQ：5=

5

t：5

5

，
解得：PQ=t，
∴OP²=OQ²+PQ²，
∵OP²=BP•AP，
当0＜t≤5时，BP=AB-AP=5

5

-

5

t，OP²=（10-2t）²+t²=5t²-40t+100，
∴5t²-40t+100=（5

5

-

5

t）•

5

t，
即2t²-13t+20=0，
解得：t=

5

2

或t=4；
当t＞5时，BP=AP-AB=

5

t-5

5

，OP²=（2t-10）²+t²=5t²-40t+100，
∴5t²-40t+100=（

5

t-5

5

）•

5

t，
即15t=100，
解得：t=

20

3

；
综上，t的值为：

5

2

或4或

20

3

；
∵AD=OA•cos∠OAB=10×

2 5

5

=4

5

，OD=OA•sin∠OAB=10×

5

5

=2

5

，

①如图4，当t=

5

2

时，过点D作DM⊥OP于M，
∵t=

5

2

，
∴AP=

5 5

2

，
∴DP=AD-AP=4

5

-

3 5

2

=

3 5

2

，
∵OP²=5t²-40t+100=

125

4

，
∴OP=

5

2

5

，
∴DM=

OD•DP

OP

=

2 5 × 3 2 5

5 2 5

=

6 5

5

，
∴此时以

6 5

5

为半径的⊙D与直线OP相切；
②如图5，当t=4时，AP=4

5

=AD，
即点P与点D重合，
∴此时以

6 5

5

为半径的⊙D与直线OP相交；
③如图6，当t=

20

3

时，过点D作DN⊥OP于N，
∵t=

20

3

，
∴AP=

20 5

3

，
∵OP²=5t²-40t+100=

500

9

，
∴OP=

10

3

5

，
∴DP=AP-AD=

20 5

3

-4

5

=

8 5

3

，
∴DM=

OD•DP

OP

=

2 5 × 8 3 5

10 3 5

=

8 5

5

＞

6 5

5

，
∴此时以

6 5

5

为半径的⊙D与直线OP相离．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及圆与直线的位置关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合与方程思想的应用．