Question

已知：抛物线y=-x²+mx+2m²（m＞0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点（点C与点A、B不重合），D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E．
（1）用含m的代数式表示点A、B的坐标；
（2）求

CE

AE

的值；
（3）当C、A两点到y轴的距离相等，且S_△CED=

8

5

时，求抛物线和直线BE的解析式．

Answer 1

分析：（1）由y=0，得出的一元二次方程的解就是A、B两点的横坐标．由此可求出A、B的坐标．
（2）本题要通过构建相似三角形求解，过O作OG∥AC交BE于G，那么可得出两组相似三角形：△CED∽△OGD、△BOG∽△BAE，可分别用这两组相似三角形得出OG与EC的比例关系、OG与AE的比例关系，从而得出CE、AE的比例关系．
（3）求直线BE的解析式，要知道B、D的坐标，就要先确定m的值，已知了A、C到y轴的距离相等，因此A、C的横坐标互为相反数，可得出C的坐标为（m，2m²）．连接OE，可根据（2）中AE、CE的比例关系得出△CED与△AOC的面积比，从而可求出△AOC的面积，根据A、C两点的坐标即可表示出三角形AOC的面积，由此可确定m的值．即可得出A、C、B的坐标．也就能求出D点的坐标，然后根据B、D的坐标用待定系数法求出直线BE的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+mx+2m²（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴关于x的方程-x²+mx+2m²=0有两个不相等的实数根x₁和x₂；
解得x₁=-m，x₂=2m．
∵点A在点B的左边，且m＞0，
∴A（-m，0），b（2m，0）．

（2）过点O作OG∥AC交BE于点G．
∴△CED∽△OGD
∴

DC

DO

=

CE

OG

；
∵DC=DO，
∴CE=OG；
∵OG∥AC，
∴△BOG∽△BAE，
∴

OG

AE

=

OB

AB

．
∵OB=2m，AB=3m．
∴

CE

AE

=

OG

AE

=

OB

AB

=

2

3

．

（3）连接OE．
∵D是OC的中点，
∴S_△OCE=2S_△CED
∵

S△OCE

S△AOC

=

CE

CA

=

2

5

∴

S△CED

S△AOC

=

1

5

．
∴S_△AOC=5S_△CED=8
∵S_△AOC=

1

2

OA•|y_C|=

1

2

m•2m²=m³
∴m³=8，
解得m=2．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+8，点C的坐标为（2，8），点B的坐标为（4，0）．
分别过点D、C作x轴的垂线，交x轴于点M、N．
∴DM∥CN，
∵D是OC的中点．
∴OM=

1

2

ON=1，DM=

1

2

CN=4，
∴点D的坐标为（1，4）．
设直线BE的解析式为y=kx+b，则有：

4k+b=0 k+b=4

，
解得：

k=- 4 3 b= 16 3

，
∴直线BE的解析式为y=-

4

3

x+

16

3

．

点评：本题着重考查了相似三角形和二次函数的综合应用等知识点，综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．