Question

1．如图，在⊙O中，AB为直径，Rt△OBC的直角边OC=BC=1，过点C作直线DE∥AB交圆于D、E两点，BD与OC交于点F．
（1）求∠BDE的度数；
（2）证明：△CDF的面积小于$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）如图，作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OD．只要证明∠DON=∠CDO=30°，∠CDB=∠ODB即可解决问题．
（2）在Rt△BCF中，求出CF，以及△DOC的面积，根据S_△DCF=$\frac{CF}{OC}$×S_△CDO即可解决问题．

解答 解：（1）如图，作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OD．
在Rt△OCB中，∵∠OCB=90°，OC=BC=1，
∴OB=OD=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵CM⊥OB，
∴OM=MB，
∴CM=OM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵DE∥AB，DN⊥AB，CM⊥AB，
∴DN=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin∠DON=$\frac{DN}{DO}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DON=30°=∠ODC，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=∠CDB，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠CDO=15°．

（2）在Rt△BCF中，∵∠CBF=30°，BC=1，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OF=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵CD∥OB，
∴DC：OB=CF：OF，
∴CD=$\frac{OB•CF}{OF}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∵S_△DOC=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，$\frac{CF}{CO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△CDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$•S_△DOC=$\frac{3+\sqrt{3}}{12}$，
∵$\sqrt{3}$≈1.7，
∴S_△CDF＜$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查圆综合题、三角形面积、直角三角形30度角性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，学会把三角形的面积比转化为线段比，属于中考压轴题．