Question

【题目】如图（1）是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图（2）所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且AB=CD=CP=DM=20cm．
（1）当点P向下滑至点N处时，测得∠DCE=60°时 ①求滑槽MN的长度；
②此时点A到直线DP的距离是多少？
（2）当点P向上滑至点M处时，点A在相对于（1）的情况下向左移动的距离是多少？ （结果精确到0.01cm，参考数据 ≈1.414， ≈1.732）

Answer 1

【答案】
（1）解：①当点P向下滑至点N处时，如图1中，作CH⊥DN于H．

∵∠DCE=60°，

∴∠DCN=180°﹣∠DCE=120°，

∵CD=CP=20cm，即CD=CN=20cm，

∴∠CDN= （180°﹣∠DCN）=30°，

∴CH= CD=10cm，NH=DH= =10 （cm），

∴MN=DN﹣DM=2DH﹣DM=20 ﹣20≈14.6cm．

∴滑槽MN的长度为14.6cm．

②根据题意，点A到直线DP的距离是6CH=6×10=60cm

（2）解：当点P向上滑至点M处时，如图2中，△CMD是等边三角形，

∴∠CDM=60°，

作CG⊥DM于G，则CG=CDsin60°=20× =10 （cm），

此时点A到直线DP的距离是6CG=6×10 =60 ，

∵60 ﹣60≈43.9cm，

∴点A在相对于（1）的情况下向左移动的距离是43.9cm

【解析】（1）①当点P向下滑至点N处时，如图1中，作CH⊥DN于H．△CDN是等腰三角形，求出NH的长即可解决问题；②根据题意，点A到直线DP的距离是6CH=6×10=60cm．（2）当点P向上滑至点M处时，如图2中，△CMD是等边三角形，求出此时点A到直线DP的距离即可解决问题；
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能正确解答此题．