Question

15．抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c经过点A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．
（1）求D点坐标；
（2）若∠PBA=$\frac{1}{2}$∠OBC，求点P的坐标；
（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x+4）（x-2），然后利用配方法可求得点D的坐标；
（2）在x轴上点E（-2，0），连接CE，并延长CE交PB与点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．首先证明EF=EB=4，然后证明△FGE∽△COE，依据相似三角形的性质可得到FG=$\frac{16}{5}$，EG=$\frac{12}{5}$，故可得到点F的坐标，然后可求得BP的解析式，最后可求得直线与抛物线的交点坐标即可；
（3）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）且过点H（-1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c经过点A（-4，0）、B（2，0）两点，
∴y=$\frac{1}{3}$（x+4）（x-2）=$\frac{1}{3}$（x²+2x-8）=$\frac{1}{3}$（x+1）²-3．
∴D（-1，-3）．

（2）在x轴上点E（-2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．
∵点E与点B关于y轴对称，
∴∠OBC=∠OEC．
∴∠OBC=∠GEF．
∵∠PBA=$\frac{1}{2}$∠OBC，
∴∠PBA=∠EFB．
∴EF=EB=4．
∵OE=2，OC=$\frac{8}{3}$，
∴EC=$\frac{10}{3}$．
∵GF∥OC，
∴△FGE∽△COE．
∴$\frac{FG}{OC}$=$\frac{EG}{OE}$=$\frac{EF}{EC}$，即$\frac{FG}{\frac{8}{3}}$=$\frac{EG}{2}$=$\frac{4}{\frac{10}{3}}$，
解得：FG=$\frac{16}{5}$，EG=$\frac{12}{5}$，
∴F（-$\frac{22}{5}$，$\frac{16}{5}$）．
设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{-\frac{22}{5}k+b=\\ \frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴直线BP的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1．
将y=-$\frac{1}{2}$x+1与y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$联立，
解得：x=-$\frac{11}{2}$，x=2（舍去），
∴y=$\frac{15}{4}$．
∴P（-$\frac{11}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）且过点H（-1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，
∴-k+b=0，
∴b=k，
∴y=kx+k．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$得：$\frac{1}{3}$x²+（$\frac{2}{3}$-k）-$\frac{8}{3}$-k=0
∴x₁+x₂=-2+3k，y₁+y₂=kx₁+k+kx₂+k=3k²，
解得：x₁=-1，x₂=3k-1，
∵点M是线段PQ的中点，
∴由中点坐标公式的点M（$\frac{3}{2}$k-1，$\frac{3}{2}$k²）．
假设存在这样的N点如图2，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k-3由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k-3}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
解得：x₁=-1，x₂=3k-1，
∴N（3k-1，3k²-3）．
∵四边形DMPN是菱形，
∴DN=DM，
∴（3k）²+（3k²）²=（$\frac{3k}{2}$）²+$\frac{3}{2}$k²+3）²，
整理得：3k⁴-k²-4=0，
∵k²+1＞0，
∴3k²-4=0，
解得k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵k＜0，
∴k=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴P（-3$\sqrt{3}$-1，6），M（-$\sqrt{3}$-1，2），N（-2$\sqrt{3}$-1，1）．
∴PM=DN=2$\sqrt{7}$，
∵PM∥DN，
∴四边形DMPN是平行四边形，
∵DM=DN，
∴四边形DMPN为菱形，
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（-2$\sqrt{3}$-1，1）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、菱形的判定和性质等知识，求得点F的坐标是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键．