Question

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，垂足分别为C；过点B分别作BD⊥y轴，垂足分别为D，AC与BD交于点K，连接CD．下列结论：
①DK•AK=CK•BK；②四边形DCAN是平行四边形；③四边形ABDC是等腰梯形；④AN=BM．
正确的有个．

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：正确的有：①DK•AK=CK•BK；②四边形DCAN是平行四边形；④AN=BM，理由为：过A作AE垂直于y轴，过B作BF垂直于x轴，由矩形AEDK的面积=矩形AEOC的面积+矩形ODKC的面积，矩形BKCF的面积=矩形BDOF的面积+矩形ODKC的面积，且矩形AEOC的面积与矩形BDOF的面积相等，都等于反比例函数的系数k，得到矩形AEDK的面积=矩形BKCF的面积，利用矩形的面积公式列出关系式，得到DK•AK=CK•BK，由积的恒等式变形为比例式，再由一对公共角，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出三角形DCK与三角形BAK相似，由相似得到一对同位角相等，可得出CD与AB平行，又AC平行于y轴，得到四边形DCAN为平行四边形，由平行四边形的对边相等得到AN=CD，同理BM=CD，可得出AN=BM，得证．
解答：解：正确的有：①DK•AK=CK•BK；②四边形DCAN是平行四边形；④AN=BM，
理由如下：
证明：过A作AE⊥y轴，过B作BF⊥x轴，如图所示，
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
且S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF，
∴AK•DK=BK•CK，即①正确；
∴CK：AK=DK：BK，
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK，
∴∠CDK=∠ABK，
∴AB∥CD，
∵AC∥y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形，即②正确；
∴AN=CD，
同理BM=CD，
∴AN=BM，即④正确；
而BD不一定等于AC，即四边形ABDC是不一定为等腰梯形，
则正确的个数有3个．
故选C
点评：此题属于反比例函数综合题，在解题时要能把反比例函数的图象与平行四边形的判定和性质相结合是本题的关键．