【题目】抛物线y=﹣+bx+c交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,直线AB的解析式为y=.
(1)求b,c的值;
(2)BA沿y轴翻折180°得到BA′,F为A′B上一点,BF的垂直平分线交y轴于点L,R为x轴上一点,BF+OR=2,QR⊥FL于Q,求QR的长;
(3)在(2)的条件下,直线LF交x轴于点D,E为抛物线第一象限上一点,BE=BD,∠ABE+∠ABD=180°,求点E的坐标.
【答案】(1)b=,c=2;(2)QR==2;(3)或
【解析】
(1)先求出A、B坐标再代入抛物线解析式即可算出b、c.
(2)设LQ延长线交x轴于点D,由题意可知LB=LF,从而可确定∠DLO=60°,因此只需求RD的长度就可以了,根据设而不求的思想,设BL=LF=m,分别表示出OL、OD、OR长度,OD﹣OR即是RD的长度,而QR是RD的一半.
(3)由∠ABE+∠ABD=180°以及BE=BD可以导出AB∥DE,作BP⊥AB交x轴于点P,连接EP,可证得△EDP是等边三角形,设D点横坐标为n,则可将E点坐标用n表示出来,再将E点坐标代入抛物线解析式即可求出n的值,也就求出了E点坐标.
(1)∵直线y=x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点,
∴A(﹣2,0),B(0,2),
∵抛物线y=﹣+bx+c经过A、B两点,
∴将A、B两点坐标代入抛物线解析析得:
﹣ ﹣2b+c=0,c=2,
∴b=,c=2,
∴抛物线的解析为.
(2)由题意知A'(2,0),
∴OA'=2,
∴tan∠A'BO=,所以∠OBA'=30°,
∵L为BF垂直平分线上的点,
∴LB=LF=m,
∴∠LFB=∠LBF=30°,
∴∠OLQ=60°,BF=m,
∴OL=OB﹣LB=2﹣m,
设LQ的延长线与x轴交于点D,则∠LDO=30°,
∴OD=OL=6﹣m,
∵BF+OR=2,
∴OR=2﹣BF=2﹣m,
∴RD=OD﹣OR=4,
∵RQ⊥FL,
∴QR=RD=2.
(3)如图3,设G为AB延长上一点,作BP⊥AB交x轴于点P,
连接EP,作EH⊥x轴于H.
∵tan∠BAO=,
∴∠BAO=60°,
∴∠BPA=30°,
∵∠ABE+∠ABD=∠ABE+∠GBE=180°
∴∠ABD=∠GBE,
∵BD=BE,
∴∠BDE=∠BED,
∵∠ABD+∠DBE+∠GBE=∠BDE+∠DBE+∠BED=180°,
∴∠ABD=∠GBE=∠BDE=∠BED,
∴AB∥DE,
∴∠EDP=∠BAO=60°,
∵BP⊥AB,
∴BP⊥DE,
∴PE=PD,
∴△EDP是等边三角形,
∴PH=DH= DP,
设D点坐标为(n,0),
∵OP=OB=6,
∴PD=OP﹣OD=6﹣n,
∴DH=PH=
∴E(,),
将E点坐标代入抛物线解析式解得n=4或n= ,
∴E点坐标为或.
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【题目】如图,直线x=t与反比例函数y=,y=﹣的图象交于点A,B,直线y=2t与反比例y=,y=﹣的图象交于点C,D,其中常数t,k均大于0.点P,Q分别是x轴、y轴上任意点,若S△PCD=S1,S△ABQ=S2.则下列结论正确的是( )
A.S1=2tB.S2=4kC.S1=2S2D.S1=S2
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为( )
A.6B.8C.10D.12
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【题目】为进一步普及足球知识,传播足球文化,某市在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动,各类获奖学生人数的比例情况如图所示,其中获得三等奖的学生共50名,请结合图中信息,解答下列问题:
(1)获得一等奖的学生有 人;
(2)在本次知识竞赛活动中,A,B,C,D 四所学校表现突出,现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛,请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率.
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【题目】某企业在甲地又一工厂(简称甲厂)生产某产品,2017年的年产量过百万,2018年甲厂经过技术改造,日均生产的该产品数是该厂2017年的2倍还多2件.
(1)若甲厂2018年生产200件该产品所需的时间与2017年生产98件该产品所需的时间相同,则2017年甲厂日均生产该产品多少件?
(2)由于该产品深受顾客喜欢,2019年该企业在乙地建立新厂(简称乙厂)生产该产品,乙厂的日均生产的该产品数是甲厂2017年的3倍还要多5件,同年该企业要求甲、乙两厂分别生产m,n件产品(甲厂的日均产量与2018年相同),m:n=14:25,若甲、乙两厂同时开始生产,谁先完成任务?请说明理由.
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【题目】如图,以AB为直径的⊙O经过AC的中点D,DE⊥BC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)当AB=4,∠C=30°时,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π).
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