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12.如图,在正方形ABCD中,取AD、CD边的中点E,F,连接CE,BF交于点G,连接AG.证明:AG=AB.

分析 如图,连接EB,先证明△DEC≌△CFB,△AEB≌CFB,得∠DEC=∠CFB,∠AEB=∠BFC,由∠DEC+∠DCE=90°,∠CFB+∠DCE=90°推出∠FGC=∠EGB=90°,再证明A、B、G、E四点共圆,得∠AGB=∠AEB,由此可以证明∠AGB=∠ABG.

解答 证明:如图,连接EB.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=AD=CD,∠D=∠DAB=∠ABC=∠BCF=90°,
∵AE=DE,DF=FC,
∴AE=DE=DF=FC
在△DEC和△CFB中,
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}\\{∠D=∠BCF}\\{DC=BC}\end{array}\right.$,
∴△DEC≌△CFB,
同理△AEB≌CFB,
∴∠DEC=∠CFB,∠AEB=∠BFC
∵∠DEC+∠DCE=90°,
∴∠CFB+∠DCE=90°
∴∠FGC=∠EGB=90°,
∴∠EAB+∠EGB=180°,
∴A、B、G、E四点共圆,
∴∠AGB=∠AEB=∠BFC,
∵CD∥AB,
∴∠BFC=∠FBA,
∴∠AGB=∠ABG,
∴AG=AB.

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识,解题的关键是四点共圆的发现,为证明角相等提供了方便,属于中考常考题型.

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6.阅读下列材料:
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根据以上材料解答下列问题:
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