Question

（2012•锦州二模）如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，连接OP．
（1）求证：PA=PB；
（2）若⊙O的半径为2，PA=2

3

，求阴影部分面积．

Answer 1

分析：（1）连接OA、OB，利用切线的性质和全等三角形的证明方法证明Rt△PAO≌Rt△PBO即可；
（2）利用三角形的面积公式及扇形的面积公式求出四边形PAOB的面积与扇形OAB的面积，两者相减即可求出阴影部分的面积．

解答：（1）证明：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
又∵OA=OB，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∵PO=PO，OA=OB，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）．
∴PA=PB；
（2）解：由（1）知△PAO≌△PBO，
∴∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP．
在Rt△PAO中，OA=2，PA=2

3

，
tan∠APO=

AO

PA

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠APO=30°，∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°，
S_阴影=S_{四边形APBO}-S_扇形=2S_△PAO-S_扇形=2×

1

2

×2×2

3

-

120×π×22

360

=4

3

-

4π

3

．

点评：此题考查了切线的性质，直角三角形的性质及阴影部分面积的求法．阴影部分面积的求法是：规则图形根据面积公式来求；不规则图形采用“割补凑正法”，即将不规则的图形通过割补拼凑成一个或几个规则的图形，从而求出阴影部分面积．遇到切线，往往连接圆心与切点，构造直角三角形来解题．