Question

【题目】如图，已知点A（﹣1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M．

（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；
（3）在抛物线上是否存在点N，使得S△BCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4；

由射影定理，得：OC2=OAOB=4，则OC=2，即点C（0，2）；

设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4），将C点代入上式，得：

2=a（0+1）（0﹣4），a=﹣ ，

∴抛物线的解析式：y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2

（2）

解：直线CM与以AB为直径的圆相切．理由如下：

如右图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD．

由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD= AB．

由（1）知：y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

则点M（ ， ），ME= ﹣2= ；

而CE=OD= ，OC=2；

∴ME：CE=OD：OC，又∠MEC=∠COD=90°，

∴△COD∽△CEM，

∴∠CME=∠CDO，

∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°，

而CD等于⊙D的半径长，所以直线CM与以AB为直径的圆相切

（3）

解：由B（4，0）、C（0，2）得：BC=2 ；

则：S△BCN= BCh= ×2 ×h=4，h= ；

过点B作BF⊥BC，且使BF=h= ，过F作直线l∥BC交x轴于G．

Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO= ，BG=BF÷sin∠BGF= ÷ =4；

∴G（0，0）或（8，0）．

易知直线BC：y=﹣ x+2，则可设直线l：y=﹣ x+b，代入G点坐标，得：b=0或b=4，则：

直线l：y=﹣ x或y=﹣ x+4；

联立抛物线的解析式后，可得：

或 ，

则 N1（2+2 ，﹣1﹣ ）、N2（2﹣2 ，﹣1+ ）、N3（2，3）．

【解析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用射影定理能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式．（2）此题的解法有两种：①过AB的中点作直线CM的垂线，比较该垂线段与AB的一半（半径）的大小关系，若两者相等，则直线CM与AB为直径的圆相切；若该垂线段小于半径长，则两者的位置关系为相交；若该垂线段大于半径长，则两者的位置关系为相离；②连接AB中点（设为点D）和点C，根据直角三角形的性质知：CD为⊙D的半径长，那么只需判断CD是否与CM垂直即可，若垂直，则直线CM与⊙D相切；若不垂直，则相交．（3）先求出线段BC的长，根据△BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l，且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．